经典的均值-方差模型在“教科书世界”里很优雅，但一旦加上真实交易里的约束（买入门槛、持仓只允许选只、最小/最大持仓比例等），问题就会迅速变成难解的混合整数非线性规划：既不凸、又不连续，很多解析或梯度法都派不上用场。本文阅读的这篇工作选择了一条更工程化的路：用改进的螺旋优化算法（ Spiral Optimization Algorithm, SOA）在约束空间里做全局搜索，给出可行解并与基线比较。下面我会按“建模—约束—算法步骤—实验指标”的顺序把它拆开，重点解释这些约束在数学上怎么落地，以及 SOA 的搜索机制为什么适合这类组合优化问题。

背景介绍

投资组合是为了实现投资目标而维护的各种资产的组合。这些资产的选择决定了投资组合的风险与收益，投资组合可以包含股票、债券、房地产和现金等多种资产。投资者一般希望在风险最小化的前提下，追求最高的投资回报。然而，高收益往往伴随着高风险，因此需要一种方法来最小化风险。马克维茨（ 1959）提出的均值-方差优化模型（ Mean-Variance Model）是解决这一问题的理论基础。

在均值-方差模型中，资产的回报用期望值表示，风险用回报的方差来衡量。通过组合不同资产，投资者可以在给定的风险水平下最大化预期回报，或者在目标回报下最小化风险。本文采用了马克维茨均值-方差模型，并加入了买入门槛和基数约束来模拟实际投资情况。

投资组合优化问题的混合整数非线性规划模型

投资组合优化问题

投资组合理论涉及投资者对风险和回报的估计，这些估计可以通过统计手段来构建投资组合。马克维茨（ 1959 年）提出的均值-方差模型描述了如何将资产组合成一个有效且多样化的投资组合。在实际中，证券投资者通常通过组合多种证券或股票来实现分散化投资，形成投资组合。

首先假设未来的资产回报可以通过统计方法进行估计，风险则可以通过回报分布的方差来衡量。令表示投资于第项资产的资金比例（其中），则为投资比例的向量。对于种资产，平均回报向量为，协方差矩阵是一个的正半定矩阵。

投资组合的优化目标是最小化总风险，即最小化投资组合的总方差。其公式为：

约束条件为：

其中表示投资组合的预期回报。此外，由于总投资金额为 1，因此：

$或$

其中。

上述模型的约束条件还包括：投资比例，即不允许卖空交易。因此模型变为：

买入门槛约束

买入门槛约束定义为每个资产的最小投资比例，即投资比例不能低于门槛。买入门槛消除了在优化投资组合中可能出现的投资比例过小的情况。带有买入门槛的投资组合优化问题如下：

$Extra close brace or missing open brace\begin{aligned} \min \quad & V(y) = \mathbf{y}^T Q \mathbf{y} \\ \text{subject to:} \quad & \overline{\mathbf{r}} ^T \mathbf{y} = R_p \\ & \mathbf{e}^T \mathbf{y} = 1 \\ & l_i z_i \leq y_i \leq u_i z_i, \quad i = 1, 2, \dots, n \\ & 0 < l_i < u_i \leq 1 \\ & z_i \in \{0, 1} \end{aligned}$

其中是 0 或 1 的二值变量，表示是否投资于第项资产。

基数约束

基数约束是指投资组合中允许的最大资产数量，即只能选择种资产进行投资。带有基数约束的投资组合优化问题可以表示为：

$Extra close brace or missing open brace\begin{aligned} \min \quad & V(y) = \mathbf{y}^T Q \mathbf{y} \\ \text{subject to:} \quad & \overline{\mathbf{r}} ^T \mathbf{y} = R_p \\ & \mathbf{e}^T \mathbf{y} = 1 \\ & \sum_{i=1}^{n} z_i = K \\ & l_i z_i \leq y_i \leq u_i z_i, \quad i = 1, 2, \dots, n \\ & 0 < l_i < u_i \leq 1 \\ & z_i \in \{0, 1} \end{aligned}$

其中表示投资组合中选择的资产数量。

混合整数非线性规划

基于 Kania 和 Sidarto（ 2016）的研究，混合整数非线性规划问题可以表示为：

其中，约束条件如下：

g_i() = 0, i = 1, 2, , M

h_j() , j = 1, 2, , N $$

变量中，前个变量是整数。

数值示例

本文使用 Bartholomew-Biggs 和 Kane（ 2009）提供的五个资产的数据进行了数值验证。资产的平均回报向量为：

方差协方差矩阵为：

Q =

目标回报率为，投资比例的下限为，惩罚参数为。在进行 50 次迭代后，优化得到的最小风险为 0.6969，总投资比例为 1，活跃资产数量为 5 。

结论

本文提出了一种修改后的螺旋优化算法（ SOA MINLP），用于解决带有买入门槛和基数约束的均值-方差投资组合优化问题。通过数值示例验证了该算法的有效性，并与现有的 Quasi-Newton 和 DIRECT 方法进行了比较，结果表明 SOA MINLP 是求解该类优化问题的有效工具。