线性代数（十六）深度学习中的线性代数
Chen Kai BOSS
  2019-03-22 14:30:00 2019-03-22 14:30      6.8k 字  29 分钟  

深度学习的核心，说白了就是大规模的矩阵运算。无论是最简单的全连接网络，还是复杂的 Transformer，背后都是线性代数在支撑。理解这一点，不仅能让你更好地调试模型、优化性能，还能帮你设计出更高效的网络架构。

神经网络的矩阵表示

从单个神经元说起

一个神经元做的事情非常简单：接收若干输入，加权求和，加上偏置，再通过激活函数。用数学表达就是：

$$

y = (w_1 x_1 + w_2 x_2 + + w_n x_n + b) $$

这个求和过程，其实就是向量的内积。如果我们把权重写成行向量 ，输入写成列向量 ，那么：

$$

y = ( + b) $$

一个神经元 = 一次内积 + 一次非线性变换。就这么简单。

一层神经元的矩阵形式

现在假设一层有 个神经元，每个神经元有自己的权重向量。把这些权重向量按行堆叠起来，就构成了权重矩阵 ：

$$

W =

^{m n} $$

这样，一层的前向传播就可以写成：

其中 是这一层的输出， 是偏置向量， 对向量的每个元素独立作用。

直觉理解：权重矩阵 将输入从 维空间映射到 维空间。这是一个线性变换，激活函数 引入非线性，使得网络能够学习复杂的函数。

批量处理（ Batch Processing）

实际训练时，我们不会一次只处理一个样本。假设有 个样本，每个样本是 维向量，我们把它们按行排列成矩阵 ：

$$

X =

$$

一层的批量前向传播变成：

$$

H = (XW^T + ^T) $$

这里 是全 1 向量， 是将偏置广播到每个样本。

为什么要批量处理？ 因为 GPU 擅长大规模并行计算。单个样本的计算无法充分利用 GPU 的并行能力，批量处理可以让矩阵乘法的规模变大，从而充分利用硬件。

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import torch
import torch.nn as nn

# 定义一个简单的全连接层
linear = nn.Linear(in_features=784, out_features=256)

# 单个样本
x_single = torch.randn(784)
h_single = linear(x_single)  # 输出形状: (256,)

# 批量样本
x_batch = torch.randn(32, 784)  # 32 个样本
h_batch = linear(x_batch)  # 输出形状: (32, 256)

print(f"权重矩阵形状: {linear.weight.shape}")  # (256, 784)
print(f"偏置向量形状: {linear.bias.shape}")    # (256,)

多层网络的矩阵链

多层神经网络就是多个这样的变换串联起来：

如果没有激活函数，这就是矩阵连乘 ，等价于一个矩阵 。所以没有非线性，多层网络和单层没区别。

非线性的作用：打破矩阵乘法的封闭性，使得网络能够逼近任意连续函数（万能逼近定理）。

反向传播的矩阵形式

反向传播是深度学习的核心算法。从线性代数的角度看，它就是链式法则的矩阵版本。

单层的梯度

考虑一层 ，设损失函数为 。我们需要计算 、 和 （用于传给前一层）。

设 （激活前的值），。

第一步：假设我们已经知道 （从后一层传回来的梯度）。

第二步：通过激活函数反传。如果 是逐元素函数：

其中 表示逐元素乘积， 是激活函数的导数。

第三步：计算参数梯度。这是关键的矩阵运算：

第四步：传给前一层：

直觉理解： 的出现是因为前向传播时 将 变换到 ，反向传播时需要沿着"转置的路径"传回去。

批量反向传播

对于批量数据 ，前向传播为 。

设 是损失对输出的梯度， 是通过激活函数后的梯度。

权重梯度需要对所有样本求和：

偏置梯度是对批量维度求和：

传给前一层的梯度：

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import torch
import torch.nn.functional as F

# 手动实现一层的前向和反向传播
class ManualLinear:
    def __init__(self, in_features, out_features):
        # Xavier 初始化
        self.W = torch.randn(out_features, in_features) * (2 / (in_features + out_features)) ** 0.5
        self.b = torch.zeros(out_features)
        self.W.requires_grad = True
        self.b.requires_grad = True
        
    def forward(self, x):
        self.x = x  # 保存用于反向传播
        self.z = x @ self.W.T + self.b
        self.h = F.relu(self.z)
        return self.h
    
    def backward(self, grad_h):
        # 通过 ReLU 反传
        grad_z = grad_h * (self.z > 0).float()
        
        # 计算参数梯度
        grad_W = grad_z.T @ self.x  # (out, batch) @ (batch, in) = (out, in)
        grad_b = grad_z.sum(dim=0)
        
        # 传给前一层
        grad_x = grad_z @ self.W  # (batch, out) @ (out, in) = (batch, in)
        
        # 保存梯度
        self.W.grad = grad_W
        self.b.grad = grad_b
        
        return grad_x

# 验证
layer = ManualLinear(784, 256)
x = torch.randn(32, 784)
h = layer.forward(x)
grad_h = torch.randn_like(h)
grad_x = layer.backward(grad_h)

print(f"输入梯度形状: {grad_x.shape}")  # (32, 784)
print(f"权重梯度形状: {layer.W.grad.shape}")  # (256, 784)

雅可比矩阵视角

更一般地，如果 ，其中 Double exponent: use braces to clarify f: ^n ^m，雅可比矩阵定义为：

$$

J = {} =

^{m n} $$

链式法则的矩阵形式就是雅可比矩阵的乘积：

对于线性层 ，雅可比矩阵就是 本身。这解释了为什么反向传播要用 。

卷积的矩阵形式

卷积神经网络（ CNN）是图像处理的核心。虽然卷积看起来和矩阵乘法不一样，但它可以转化为矩阵乘法。

一维卷积

一维离散卷积的定义：

在深度学习中，我们处理的是有限长度的信号和卷积核：

$$

y[n] = _{k=0}^{K-1} w[k] x[n+k] $$

其中 是长度为 的卷积核， 是输入信号。

矩阵形式：一维卷积可以表示为托普利茨（ Toeplitz）矩阵乘法。假设输入 ，卷积核 ，输出长度为 。

构造矩阵 ：

$$

T =

$$

则 。

二维卷积

二维卷积用于图像处理：

$$

Y[i,j] = {m=0}^{K_h-1} {n=0}^{K_w-1} W[m,n] X[i+m, j+n] $$

im2col 技巧：这是深度学习框架中最常用的卷积实现方法。核心思想是把卷积转化为矩阵乘法。

步骤：

  1. 展开输入：对于每个输出位置 ，将对应的输入 patch（大小为 ）展开成一个列向量。所有这些列向量组成矩阵 。

  2. 展开卷积核：将卷积核展开成一个行向量。

  3. 矩阵乘法：4. 重塑输出：将结果重塑为输出特征图的形状。

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import torch
import torch.nn.functional as F

def im2col_naive(x, kernel_size, stride=1, padding=0):
    """
    将输入图像转换为列矩阵
    x: (batch, channels, height, width)
    """
    batch, channels, h, w = x.shape
    kh, kw = kernel_size
    
    # 添加 padding
    if padding > 0:
        x = F.pad(x, [padding] * 4)
    
    _, _, h_pad, w_pad = x.shape
    out_h = (h_pad - kh) // stride + 1
    out_w = (w_pad - kw) // stride + 1
    
    # 提取所有 patch
    col = torch.zeros(batch, channels * kh * kw, out_h * out_w)
    
    for i in range(out_h):
        for j in range(out_w):
            patch = x[:, :, i*stride:i*stride+kh, j*stride:j*stride+kw]
            col[:, :, i*out_w+j] = patch.reshape(batch, -1)
    
    return col, out_h, out_w

def conv2d_via_im2col(x, weight, stride=1, padding=0):
    """
    使用 im2col 实现 2D 卷积
    x: (batch, in_channels, h, w)
    weight: (out_channels, in_channels, kh, kw)
    """
    batch = x.shape[0]
    out_channels, in_channels, kh, kw = weight.shape
    
    # im2col
    col, out_h, out_w = im2col_naive(x, (kh, kw), stride, padding)
    
    # 展开权重
    weight_col = weight.reshape(out_channels, -1)  # (out_channels, in_channels*kh*kw)
    
    # 矩阵乘法
    out = weight_col @ col  # (batch, out_channels, out_{h*}out_w)
    
    # 重塑输出
    out = out.reshape(batch, out_channels, out_h, out_w)
    
    return out

# 验证
x = torch.randn(2, 3, 8, 8)
weight = torch.randn(16, 3, 3, 3)

# 使用我们的实现
y1 = conv2d_via_im2col(x, weight, padding=1)

# 使用 PyTorch
y2 = F.conv2d(x, weight, padding=1)

print(f"差异: {(y1 - y2).abs().max().item():.6f}")  # 应该接近 0

为什么用 im2col？ 因为 GEMM（通用矩阵乘法）在 CPU 和 GPU 上都有高度优化的实现（如 cuBLAS）。虽然 im2col 会增加内存使用（输入被复制多次），但利用高效的 GEMM 带来的速度提升通常远超内存的开销。

转置卷积（反卷积）

转置卷积用于上采样，常见于生成模型和语义分割的解码器。

直觉：如果正向卷积将 的图像变为 （通常 ），转置卷积则做相反的事情。

矩阵视角：如果正向卷积可以表示为 （ 是由卷积核构造的稀疏矩阵），转置卷积就是 。

注意：转置卷积不是卷积的逆运算。。它只是在矩阵维度上是"反过来"的。

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# 转置卷积示例
conv = nn.Conv2d(3, 16, kernel_size=3, stride=2, padding=1)
conv_transpose = nn.ConvTranspose2d(16, 3, kernel_size=3, stride=2, padding=1, output_padding=1)

x = torch.randn(1, 3, 32, 32)
y = conv(x)  # (1, 16, 16, 16)
x_reconstructed = conv_transpose(y)  # (1, 3, 32, 32)

print(f"输入形状: {x.shape}")
print(f"卷积后形状: {y.shape}")
print(f"转置卷积后形状: {x_reconstructed.shape}")

深度可分离卷积

标准卷积的参数量是 。深度可分离卷积将其分解为两步：

深度卷积（ Depthwise）：每个输入通道独立卷积，不混合通道。参数量：。

逐点卷积（ Pointwise）： 卷积，混合通道。参数量：。

总参数量：，远小于标准卷积。

矩阵视角：这是一种低秩分解。标准卷积的权重张量可以近似分解为深度和逐点两部分的乘积。

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# 深度可分离卷积
class DepthwiseSeparableConv(nn.Module):
    def __init__(self, in_channels, out_channels, kernel_size, stride=1, padding=0):
        super().__init__()
        # 深度卷积： groups=in_channels 使每个通道独立
        self.depthwise = nn.Conv2d(in_channels, in_channels, kernel_size,
                                   stride=stride, padding=padding, groups=in_channels)
        # 逐点卷积
        self.pointwise = nn.Conv2d(in_channels, out_channels, kernel_size=1)
        
    def forward(self, x):
        x = self.depthwise(x)
        x = self.pointwise(x)
        return x

# 比较参数量
standard_conv = nn.Conv2d(64, 128, 3, padding=1)
depthwise_sep = DepthwiseSeparableConv(64, 128, 3, padding=1)

print(f"标准卷积参数量: {sum(p.numel() for p in standard_conv.parameters())}")
# 64 * 128 * 3 * 3 + 128 = 73856

print(f"深度可分离卷积参数量: {sum(p.numel() for p in depthwise_sep.parameters())}")
# 64 * 3 * 3 + 64 + 64 * 128 + 128 = 8896

Attention 机制中的矩阵运算

Attention 是现代深度学习最重要的创新之一。它的核心完全建立在矩阵运算之上。

注意力的直觉

想象你在图书馆找资料。你有一个问题（ Query），图书馆有很多书（ Key-Value 对）。你先用问题和每本书的关键词（ Key）比对相关性，然后根据相关性加权获取书的内容（ Value）。

Attention 做的事情：给定查询 ，计算它与所有键 的相似度，用这个相似度对值 加权求和。

缩放点积注意力

让我们拆解这个公式：

第一步：——计算相似度矩阵

假设 （ 个查询，每个 维），（ 个键）。

$$

QK^T ^{n m} $$ 就是第 个查询和第 个键的点积，代表它们的相似度。

第二步：除以 ——缩放

为什么要缩放？假设 和 的元素都是均值 0 、方差 1 的独立随机变量。它们的点积的方差是 。当 很大时，点积的值会很大，导致 softmax 饱和（梯度接近 0）。除以 使方差回到 1 。

第三步： softmax ——归一化

对每一行（每个查询）做 softmax，得到注意力权重。权重和为 1，可以解释为概率分布。

第四步：乘以 ——加权求和

假设 。注意力权重矩阵 ，输出 。

每个输出是所有值向量的加权平均，权重由注意力决定。

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import torch
import torch.nn.functional as F
import math

def scaled_dot_product_attention(Q, K, V, mask=None):
    """
    缩放点积注意力
    Q: (batch, n_heads, seq_len_q, d_k)
    K: (batch, n_heads, seq_len_k, d_k)
    V: (batch, n_heads, seq_len_k, d_v)
    mask: (batch, 1, 1, seq_len_k) 或 (batch, 1, seq_len_q, seq_len_k)
    """
    d_k = Q.size(-1)
    
    # 计算注意力分数
    scores = torch.matmul(Q, K.transpose(-2, -1)) / math.sqrt(d_k)
    # scores: (batch, n_heads, seq_len_q, seq_len_k)
    
    # 应用 mask（用于 decoder 的因果注意力）
    if mask is not None:
        scores = scores.masked_fill(mask == 0, float('-inf'))
    
    # softmax 得到注意力权重
    attn_weights = F.softmax(scores, dim=-1)
    
    # 加权求和
    output = torch.matmul(attn_weights, V)
    # output: (batch, n_heads, seq_len_q, d_v)
    
    return output, attn_weights

# 示例
batch, n_heads, seq_len, d_k = 2, 8, 10, 64
Q = torch.randn(batch, n_heads, seq_len, d_k)
K = torch.randn(batch, n_heads, seq_len, d_k)
V = torch.randn(batch, n_heads, seq_len, d_k)

output, weights = scaled_dot_product_attention(Q, K, V)
print(f"输出形状: {output.shape}")  # (2, 8, 10, 64)
print(f"注意力权重形状: {weights.shape}")  # (2, 8, 10, 10)
print(f"权重每行和: {weights[0, 0, 0].sum().item():.4f}")  # 应该是 1

多头注意力

单一注意力只能学习一种"关注模式"。多头注意力让模型同时学习多种不同的关注模式。

其中每个头：

线性代数视角：

  • 将输入投影到不同的子空间
  • 每个头在各自的子空间中计算注意力
  • 最后用 将所有头的输出混合

参数形状： - 输入维度 ，头数 ，每个头的维度 - Double exponent: use braces to clarifyW^Q, W^K, W^V ^{d_{model} d_{model}} （可以看作 个 矩阵的拼接） - Double exponent: use braces to clarifyW^O ^{d_{model} d_{model}} 

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class MultiHeadAttention(nn.Module):
    def __init__(self, d_model, n_heads):
        super().__init__()
        assert d_model % n_heads == 0
        
        self.d_model = d_model
        self.n_heads = n_heads
        self.d_k = d_model // n_heads
        
        # 线性投影
        self.W_q = nn.Linear(d_model, d_model)
        self.W_k = nn.Linear(d_model, d_model)
        self.W_v = nn.Linear(d_model, d_model)
        self.W_o = nn.Linear(d_model, d_model)
        
    def forward(self, Q, K, V, mask=None):
        batch_size = Q.size(0)
        
        # 线性投影并分头
        # (batch, seq_len, d_model) -> (batch, seq_len, n_heads, d_k) -> (batch, n_heads, seq_len, d_k)
        Q = self.W_q(Q).view(batch_size, -1, self.n_heads, self.d_k).transpose(1, 2)
        K = self.W_k(K).view(batch_size, -1, self.n_heads, self.d_k).transpose(1, 2)
        V = self.W_v(V).view(batch_size, -1, self.n_heads, self.d_k).transpose(1, 2)
        
        # 注意力计算
        attn_output, attn_weights = scaled_dot_product_attention(Q, K, V, mask)
        
        # 合并多头
        # (batch, n_heads, seq_len, d_k) -> (batch, seq_len, d_model)
        attn_output = attn_output.transpose(1, 2).contiguous().view(batch_size, -1, self.d_model)
        
        # 输出投影
        output = self.W_o(attn_output)
        
        return output, attn_weights

# 测试
mha = MultiHeadAttention(d_model=512, n_heads=8)
x = torch.randn(2, 10, 512)  # (batch, seq_len, d_model)
output, weights = mha(x, x, x)  # 自注意力： Q=K=V=x
print(f"输出形状: {output.shape}")  # (2, 10, 512)

注意力的计算复杂度

标准注意力的时间和空间复杂度都是 ，其中 是序列长度。这是因为需要计算 的注意力矩阵。

对于长序列，这是主要瓶颈。各种高效注意力变体（ Sparse Attention, Linear Attention, FlashAttention 等）都是为了解决这个问题。

FlashAttention 是一种算法优化，通过分块计算和减少 GPU 内存访问来加速标准注意力，不改变数学结果。

Transformer 的线性代数解读

Transformer 是现代 NLP 和多模态 AI 的基础架构。让我们从线性代数的角度完整解读它。

Transformer Encoder

一个 Encoder 层包含：

  1. 多头自注意力（已介绍）
  2. 前馈网络（ FFN）：两层全连接 + 激活函数
  3. 残差连接
  4. 层归一化

前馈网络：

通常 $W_1 ^{d_{model} d_{ff}} ，W_2 ^{d_{ff} d_{model}} ，其中 d_{ff} = 4 d_{model}$。

直觉： FFN 是逐位置的——对序列中每个位置独立应用相同的变换。它可以看作是一个两层的小型 MLP，先扩展维度、引入非线性，再压缩回原维度。

残差连接：

残差连接让梯度可以"跳过"复杂的变换直接传回去，缓解梯度消失问题。

Transformer Decoder

Decoder 比 Encoder 多一个交叉注意力（ Cross-Attention）：

  • Query 来自 Decoder 的上一层输出
  • Key 和 Value 来自 Encoder 的输出

这让 Decoder 能够"看到"Encoder 处理的输入。

另外， Decoder 的自注意力是因果的（ Causal）：位置 只能注意到位置 。这通过注意力 mask 实现：

被 mask 的位置在 softmax 前被设为 ，使权重变为 0 。

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def create_causal_mask(seq_len):
    """创建因果注意力 mask"""
    mask = torch.tril(torch.ones(seq_len, seq_len))
    return mask.unsqueeze(0).unsqueeze(0)  # (1, 1, seq_len, seq_len)

mask = create_causal_mask(5)
print(mask[0, 0])
# tensor([[1., 0., 0., 0., 0.],
#         [1., 1., 0., 0., 0.],
#         [1., 1., 1., 0., 0.],
#         [1., 1., 1., 1., 0.],
#         [1., 1., 1., 1., 1.]])

位置编码

Transformer 没有循环结构，自注意力对位置是不敏感的（ permutation equivariant）。位置编码给模型提供位置信息。

正弦位置编码：

$$

PE_{pos, 2i} = ()

PE_{pos, 2i+1} = () $$

线性代数视角：每个位置被编码为一个 维向量。不同频率的正弦/余弦波使得模型可以学习相对位置关系—— 可以表示为 的线性函数。

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class PositionalEncoding(nn.Module):
    def __init__(self, d_model, max_len=5000):
        super().__init__()
        
        pe = torch.zeros(max_len, d_model)
        position = torch.arange(0, max_len, dtype=torch.float).unsqueeze(1)
        div_term = torch.exp(torch.arange(0, d_model, 2).float() * (-math.log(10000.0) / d_model))
        
        pe[:, 0::2] = torch.sin(position * div_term)
        pe[:, 1::2] = torch.cos(position * div_term)
        
        pe = pe.unsqueeze(0)  # (1, max_len, d_model)
        self.register_buffer('pe', pe)
        
    def forward(self, x):
        # x: (batch, seq_len, d_model)
        return x + self.pe[:, :x.size(1), :]

完整的 Transformer 层

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class TransformerEncoderLayer(nn.Module):
    def __init__(self, d_model, n_heads, d_ff, dropout=0.1):
        super().__init__()
        
        self.self_attn = MultiHeadAttention(d_model, n_heads)
        self.ffn = nn.Sequential(
            nn.Linear(d_model, d_ff),
            nn.ReLU(),
            nn.Dropout(dropout),
            nn.Linear(d_ff, d_model)
        )
        
        self.norm1 = nn.LayerNorm(d_model)
        self.norm2 = nn.LayerNorm(d_model)
        self.dropout = nn.Dropout(dropout)
        
    def forward(self, x, mask=None):
        # 自注意力 + 残差
        attn_output, _ = self.self_attn(x, x, x, mask)
        x = self.norm1(x + self.dropout(attn_output))
        
        # 前馈网络 + 残差
        ffn_output = self.ffn(x)
        x = self.norm2(x + self.dropout(ffn_output))
        
        return x

BatchNorm 和 LayerNorm

归一化层是深度学习中的关键组件。它们通过标准化激活值来稳定训练。

Batch Normalization

操作：对每个特征，在 batch 维度上计算均值和方差，然后标准化：

其中 ，。

标准化后，再用可学习参数缩放和平移：

$$

y_i = _i + $$

输入形状：对于卷积层 ，对每个通道 独立做 BN，均值和方差在 上计算。

问题： BN 依赖 batch 统计量。小 batch 时估计不准；推理时需要用训练时积累的移动平均。

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class BatchNorm1d(nn.Module):
    def __init__(self, num_features, eps=1e-5, momentum=0.1):
        super().__init__()
        self.eps = eps
        self.momentum = momentum
        
        # 可学习参数
        self.gamma = nn.Parameter(torch.ones(num_features))
        self.beta = nn.Parameter(torch.zeros(num_features))
        
        # 运行时统计量（不参与梯度）
        self.register_buffer('running_mean', torch.zeros(num_features))
        self.register_buffer('running_var', torch.ones(num_features))
        
    def forward(self, x):
        # x: (batch, features)
        if self.training:
            mean = x.mean(dim=0)
            var = x.var(dim=0, unbiased=False)
            
            # 更新运行时统计量
            self.running_mean = (1 - self.momentum) * self.running_mean + self.momentum * mean
            self.running_var = (1 - self.momentum) * self.running_var + self.momentum * var
        else:
            mean = self.running_mean
            var = self.running_var
        
        x_norm = (x - mean) / torch.sqrt(var + self.eps)
        return self.gamma * x_norm + self.beta

Layer Normalization

操作：对每个样本，在特征维度上计算均值和方差：

其中 和 是在同一个样本的所有特征上计算的。

输入形状：对于 的序列，对每个位置的 维向量独立做 LN 。

优点：不依赖 batch，适合小 batch 和序列模型（ RNN 、 Transformer）。

矩阵视角的区别：

  • BatchNorm：沿着 batch 维度（矩阵的行）标准化每个特征（列）
  • LayerNorm：沿着特征维度（矩阵的列）标准化每个样本（行）

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class LayerNorm(nn.Module):
    def __init__(self, normalized_shape, eps=1e-5):
        super().__init__()
        self.eps = eps
        
        # 可学习参数
        self.gamma = nn.Parameter(torch.ones(normalized_shape))
        self.beta = nn.Parameter(torch.zeros(normalized_shape))
        
    def forward(self, x):
        # x: (..., normalized_shape)
        mean = x.mean(dim=-1, keepdim=True)
        var = x.var(dim=-1, keepdim=True, unbiased=False)
        
        x_norm = (x - mean) / torch.sqrt(var + self.eps)
        return self.gamma * x_norm + self.beta

# 比较
x = torch.randn(32, 10, 512)  # (batch, seq_len, d_model)

bn = nn.BatchNorm1d(512)  # 对 d_model 维度做 BN
ln = nn.LayerNorm(512)    # 对 d_model 维度做 LN

# BN 需要 (batch, features, *) 的输入
x_bn = bn(x.transpose(1, 2)).transpose(1, 2)

# LN 直接处理
x_ln = ln(x)

print(f"BN 输出形状: {x_bn.shape}")  # (32, 10, 512)
print(f"LN 输出形状: {x_ln.shape}")  # (32, 10, 512)

RMSNorm

RMSNorm 是 LayerNorm 的简化版，只用均方根（ RMS）标准化，不减均值：

优点：计算更简单，效果相近。 LLaMA 等模型使用 RMSNorm 。

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class RMSNorm(nn.Module):
    def __init__(self, dim, eps=1e-6):
        super().__init__()
        self.eps = eps
        self.weight = nn.Parameter(torch.ones(dim))
        
    def forward(self, x):
        rms = torch.sqrt(x.pow(2).mean(dim=-1, keepdim=True) + self.eps)
        return self.weight * x / rms

参数高效微调： LoRA

大语言模型（ LLM）有数十亿参数，全量微调成本很高。 LoRA（ Low-Rank Adaptation）是一种高效的微调方法，其核心是低秩矩阵分解。

核心思想

预训练模型的权重为 。 LoRA 不直接修改 ，而是学习一个低秩的更新：

$$

W = W_0 + W = W_0 + BA $$

其中 ，，。

参数量对比： - 全量微调： 个参数 - LoRA： 个参数

例如，对于 ，全量微调需要 1677 万参数。 LoRA 用 只需要 个参数，减少了 256 倍。

为什么低秩有效？

研究表明，预训练模型在微调时的权重变化具有低秩结构。也就是说， 的有效秩远小于其维度。 LoRA 直接约束 的秩为 ，相当于正则化。

直觉：微调是在预训练模型学到的特征空间上做小调整，不需要改变整个空间的结构。低秩更新只调整一个低维子空间。

实现

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class LoRALinear(nn.Module):
    def __init__(self, base_layer, r=8, alpha=16, dropout=0.1):
        """
        base_layer: 原始的 nn.Linear 层
        r: LoRA 的秩
        alpha: 缩放因子
        """
        super().__init__()
        
        self.base_layer = base_layer
        self.r = r
        self.alpha = alpha
        
        in_features = base_layer.in_features
        out_features = base_layer.out_features
        
        # LoRA 参数
        self.lora_A = nn.Parameter(torch.randn(r, in_features) * 0.01)
        self.lora_B = nn.Parameter(torch.zeros(out_features, r))
        
        self.scaling = alpha / r
        self.dropout = nn.Dropout(dropout)
        
        # 冻结原始权重
        for param in base_layer.parameters():
            param.requires_grad = False
            
    def forward(self, x):
        # 原始输出
        base_output = self.base_layer(x)
        
        # LoRA 输出
        # x: (..., in_features)
        # lora_A: (r, in_features)
        # lora_B: (out_features, r)
        lora_output = self.dropout(x) @ self.lora_A.T @ self.lora_B.T * self.scaling
        
        return base_output + lora_output
    
    def merge_weights(self):
        """将 LoRA 权重合并到原始权重，推理时使用"""
        self.base_layer.weight.data += (self.lora_B @ self.lora_A) * self.scaling

# 使用示例
base = nn.Linear(4096, 4096)
lora = LoRALinear(base, r=8)

print(f"原始参数量: {sum(p.numel() for p in base.parameters())}")  # 16781312
print(f"LoRA 可训练参数量: {sum(p.numel() for p in lora.parameters() if p.requires_grad)}")  # 65536

x = torch.randn(2, 10, 4096)
y = lora(x)
print(f"输出形状: {y.shape}")  # (2, 10, 4096)

LoRA 在 Transformer 中的应用

通常对注意力层的 、、、 应用 LoRA 。这些是信息流动的关键位置。

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def apply_lora_to_attention(attention_module, r=8, alpha=16):
    """给 MultiHeadAttention 添加 LoRA"""
    attention_module.W_q = LoRALinear(attention_module.W_q, r=r, alpha=alpha)
    attention_module.W_k = LoRALinear(attention_module.W_k, r=r, alpha=alpha)
    attention_module.W_v = LoRALinear(attention_module.W_v, r=r, alpha=alpha)
    attention_module.W_o = LoRALinear(attention_module.W_o, r=r, alpha=alpha)
    return attention_module

# 应用到 Transformer
mha = MultiHeadAttention(d_model=512, n_heads=8)
mha_with_lora = apply_lora_to_attention(mha, r=8)

total_params = sum(p.numel() for p in mha_with_lora.parameters())
trainable_params = sum(p.numel() for p in mha_with_lora.parameters() if p.requires_grad)
print(f"总参数量: {total_params}")
print(f"可训练参数量: {trainable_params}")
print(f"可训练比例: {trainable_params / total_params * 100:.2f}%")

QLoRA 和其他变体

QLoRA：结合量化和 LoRA 。基础模型用 4 位量化存储， LoRA 参数用 FP16/BF16，进一步减少内存。

DoRA：将权重分解为方向和幅度两部分，分别用 LoRA 适配，效果更好。

AdaLoRA：自适应分配不同层的秩 ，重要的层用更高的秩。

深度学习优化中的线性代数

权重初始化

好的初始化对训练至关重要。目标是让前向传播和反向传播时信号不会爆炸或消失。

Xavier 初始化（适用于 tanh/sigmoid）：

$$

W U(-, ) $$

或者高斯版本：

$$

W N(0, ) $$

推导思路：假设输入 的方差为 ，我们希望输出 的方差也是 。这要求 。同理，反向传播要求 。取两者的平均。

He 初始化（适用于 ReLU）：

$$

W N(0, ) $$

ReLU 会"杀死"一半的激活（负数变 0），所以方差要乘 2 补偿。

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def xavier_init(shape):
    n_in, n_out = shape
    std = (2 / (n_in + n_out)) ** 0.5
    return torch.randn(shape) * std

def he_init(shape):
    n_in, n_out = shape
    std = (2 / n_in) ** 0.5
    return torch.randn(shape) * std

# 验证方差保持
n_in, n_out = 1000, 1000
W = he_init((n_out, n_in))
x = torch.randn(100, n_in)  # 100 个样本

y = x @ W.T
print(f"输入方差: {x.var().item():.4f}")
print(f"输出方差: {y.var().item():.4f}")  # 应该接近输入方差

梯度问题与奇异值

深层网络中，梯度需要经过很多层传播。如果每层的雅可比矩阵的奇异值都大于 1，梯度会爆炸；都小于 1，梯度会消失。

设网络为 ，反向传播的梯度：

梯度的范数大致是各层雅可比矩阵奇异值的乘积。

解决方案：

  1. 残差连接：，雅可比矩阵变为 ，特征值围绕 1
  2. 归一化：控制激活值的范围
  3. 梯度裁剪：

优化器的矩阵视角

SGD：梯度下降

SGD with Momentum：累积梯度

$$

v_{t+1} = v_t + L(t) {t+1} = t - v{t+1} $$

Adam：自适应学习率

$$

m_t = 1 m{t-1} + (1 - _1) g_t

v_t = 2 v{t-1} + (1 - _2) g_t^2 _t = , t = {t+1} = _t - $$

线性代数视角： Adam 相当于用对角预条件矩阵 缩放梯度。这近似于二阶方法（牛顿法用 Hessian 的逆， Adam 用对角近似）。

练习题

基础题

1. 证明：对于线性层 ，如果 是正交矩阵（），则前向传播和反向传播都不会改变向量的范数。

2. 假设输入 ，经过三层全连接网络：。写出每层权重矩阵的形状，并计算总参数量。

3. 解释为什么多头注意力中，每个头的维度通常设为 $ d_{model} / h（ h是头数），而不是都用 d_{model}$。

4. BatchNorm 和 LayerNorm 分别在哪些维度上计算均值和方差？对于形状为 的卷积特征图，它们的归一化统计量形状分别是什么？

进阶题

5. 推导缩放点积注意力中除以 的必要性。假设 和 的每个元素独立同分布于 ，计算 的每个元素的均值和方差。

6. 对于 im2col 方法： - 假设输入 ，卷积核 ， stride=1， padding=1 - 计算 im2col 后矩阵的形状 - 分析这种方法的内存开销

7. 证明：如果 （，），则 。

8. 分析 ResNet 残差块 的梯度流。证明反向传播时存在一条"shortcut"路径，梯度可以不经过 直接传到前面的层。

编程题

9. 实现一个完整的 Transformer Encoder（包含多层），并用它处理一个简单的序列分类任务。

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# 骨架代码
class TransformerEncoder(nn.Module):
    def __init__(self, d_model, n_heads, d_ff, n_layers, dropout=0.1):
        super().__init__()
        # TODO: 实现
        pass
        
    def forward(self, x, mask=None):
        # TODO: 实现
        pass

# 测试
encoder = TransformerEncoder(d_model=256, n_heads=4, d_ff=1024, n_layers=4)
x = torch.randn(2, 20, 256)  # (batch, seq_len, d_model)
output = encoder(x)
print(f"输出形状: {output.shape}")  # 应该是 (2, 20, 256)

10. 实现一个简化的 LoRA 训练流程： - 加载一个预训练的小型模型（如一个简单的分类器） - 对其线性层应用 LoRA - 在新任务上微调 LoRA 参数 - 比较全量微调和 LoRA 微调的参数量和效果

11. 实现并可视化不同归一化方法的效果： - 生成一个随机 batch - 分别应用 BatchNorm 、 LayerNorm 、 RMSNorm - 可视化归一化前后特征分布的变化

12. 分析一个实际的 Transformer 模型（如 BERT-tiny 或 GPT-2-small）的计算复杂度： - 统计不同组件（注意力、 FFN 、归一化等）的 FLOPs 占比 - 分析序列长度对计算量的影响 - 绘制计算量随序列长度变化的曲线

思考题

13. 为什么 Transformer 中普遍使用 LayerNorm 而不是 BatchNorm？从训练稳定性、序列长度变化、并行计算等角度分析。

14. LoRA 假设微调时的权重变化是低秩的。在什么情况下这个假设可能不成立？如何检测？

15. 如果要将传统的 2D CNN 迁移到处理 3D 数据（如视频或医学影像），从矩阵运算的角度分析计算量会如何变化。

本章总结

深度学习的核心操作都可以用线性代数来描述：

  • 全连接层：矩阵乘法 + 非线性激活
  • 反向传播：链式法则的矩阵形式，梯度通过转置矩阵传播
  • 卷积：可以通过 im2col 转化为矩阵乘法，利用高效 GEMM 加速
  • 注意力机制：查询-键点积计算相似度，对值加权求和
  • Transformer：注意力 + FFN + 残差 + 归一化的组合
  • 归一化层：在不同维度上标准化，稳定训练
  • LoRA：低秩矩阵分解实现高效微调

理解这些线性代数基础，能让你： 1. 更好地理解模型的工作原理 2. 高效地实现和优化模型 3. 设计新的网络架构 4. 调试训练中的问题（梯度消失/爆炸等）

参考资料

  1. Vaswani, A., et al. "Attention is All You Need." NeurIPS 2017.
  2. Hu, E., et al. "LoRA: Low-Rank Adaptation of Large Language Models." ICLR 2022.
  3. Ba, J., Kiros, J., & Hinton, G. "Layer Normalization." arXiv 2016.
  4. Ioffe, S., & Szegedy, C. "Batch Normalization." ICML 2015.
  5. He, K., et al. "Deep Residual Learning for Image Recognition." CVPR 2016.

  6. Glorot, X., & Bengio, Y. "Understanding the difficulty of training deep feedforward neural networks." AISTATS 2010.

本文是《线性代数的本质与应用》系列的第十六章，共 18 章。

  • 本文标题：线性代数（十六）深度学习中的线性代数
  • 本文作者：Chen Kai
  • 创建时间：2019-03-22 14:30:00
  • 本文链接：https://www.chenk.top/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%EF%BC%88%E5%8D%81%E5%85%AD%EF%BC%89%E6%B7%B1%E5%BA%A6%E5%AD%A6%E4%B9%A0%E4%B8%AD%E7%9A%84%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0/
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