线性代数（十三）张量与多线性代数
Chen Kai BOSS
  2019-03-09 10:15:00 2019-03-09 10:15      5.9k 字  21 分钟  

如果你接触过深度学习，一定对"张量"这个词不陌生—— PyTorch 里叫 torch.Tensor， TensorFlow 更是直接把它写进了名字。但张量究竟是什么？为什么深度学习框架要用这个听起来很物理学的名词？

本章将从最熟悉的标量、向量、矩阵出发，带你理解张量的本质：它不过是把"数组"的概念推广到任意维度。我们会看到，张量运算如何自然地描述图像、视频、推荐系统中的多维数据，以及 CP 分解、 Tucker 分解等技术如何帮助我们压缩和理解这些高维结构。

从标量到张量：维度的自然推广

一个数、一排数、一张表、一个立方体

让我们从最简单的开始：

标量（ 0 阶张量）：就是一个数。比如气温 ，你的银行余额 元。它没有方向，只有大小。

向量（ 1 阶张量）：一排数。比如你在地图上的位置需要两个数 来描述，一个 RGB 颜色需要三个数 来表示。向量有大小，也有方向。

矩阵（ 2 阶张量）：一张表。 Excel 表格就是典型的矩阵——有行有列。灰度图像也是矩阵，每个位置存储一个像素的亮度值。

$$

M =

$$

3 阶张量：一个"数据立方体"。彩色图像就是这样的结构——高度 × 宽度 × 颜色通道（ RGB 三通道）。

那么，张量的一般定义就呼之欲出了：

张量是向量和矩阵到任意维度的自然推广。一个 阶张量是一个 维数组，记作 ，其中 是各个维度的大小。

生活中的张量无处不在

你可能没意识到，日常生活中到处都是张量：

数据类型 张量形状 阶数 直观理解
一段话的情感得分 0（标量） 一个数
某城市一周气温 1 7 天，每天一个温度
灰度照片 2 高×宽的像素矩阵
彩色照片 3 每个像素有 RGB 三个值
一段视频 4 T 帧图像叠在一起
一批训练图片 4 N 张图片打包
用户-电影-时间评分 3 用户 u 在时间 t 对电影 m 的评分
脑电图数据 4 通道×时间×频率×实验次数

一个具体例子：假设你在做视频推荐系统。你有 1000 个用户， 10000 部电影，用户的喜好还会随时间变化（比如按周统计， 52 周）。这个数据就是一个 的三阶张量！如果用传统的用户-电影矩阵，你就丢失了时间维度的信息。

张量的"阶"与"形状"

两个重要概念需要区分清楚：

  • 阶（ Order/Mode）：张量的维度数量。向量是 1 阶，矩阵是 2 阶， RGB 图像是 3 阶。有时也叫"维度"或"模式数"。

  • 形状（ Shape）：各个维度的大小。一张 的 RGB 图像，形状是 ，阶数是 3 。

注意：不要把"阶"和"秩（ Rank）"混淆。秩是另一个概念，我们后面会详细讨论。

张量的内部结构：纤维与切片

要理解张量，必须学会"看穿"它的内部结构。我们有两个核心概念：纤维（ Fiber）和切片（ Slice）。

纤维：张量内部的"牙签"

想象你手里有一个魔方（ 3 阶张量）。如果你用一根牙签穿过魔方，沿着某个方向穿透它，你得到的那一串小方块就是一根"纤维"。

数学定义：固定除一个索引外的所有索引，得到的向量就是纤维。

对于一个三阶张量 ：

  • 模式-1 纤维 ：固定 和 ，沿着第一个维度穿过去，得到一个长度为 的向量
  • 模式-2 纤维 ：固定 和 ，得到长度为 的向量
  • 模式-3 纤维 ：固定 和 ，得到长度为 的向量

图像处理中的例子：对于一张 RGB 图像 ， 就是位置 处像素的颜色向量 。

切片：张量内部的"薄片"

同样拿魔方做比喻：如果你用刀把魔方切成若干片，每一片就是一个"切片"。

数学定义：固定一个索引，得到的矩阵就是切片。

对于三阶张量 ：

  • 水平切片 ：固定 ，得到 矩阵
  • 侧面切片 ：固定 ，得到 矩阵
  • 正面切片 ：固定 ，得到 矩阵

视频处理中的例子：对于一段视频 ，正面切片 就是第 帧的图像。

张量的展开（ Matricization）

有时候，我们需要把高维张量"摊平"成矩阵来处理。这个操作叫做展开或矩阵化。

模式-n 展开：把张量沿着第 个模式展开，模式-n 的纤维变成矩阵的列。

对于 ，模式-n 展开得到矩阵：

$$

X_{(n)} ^{I_n (I_1 I_{n-1} I_{n+1} I_N)} $$

具体例子：设 - 模式-1 展开：（ 4 × 2=8 列） - 模式-2 展开：（ 3 × 2=6 列） - 模式-3 展开：（ 3 × 4=12 列）

为什么展开有用？因为很多张量算法可以转化为矩阵运算，而矩阵运算我们已经非常熟悉了。

张量的基本运算

张量的加法与数乘

这是最简单的运算，和向量、矩阵完全类似：

加法：两个同形状的张量，对应元素相加。

数乘：每个元素乘以同一个标量。

在深度学习中，这些操作无处不在。比如残差网络中的跳跃连接 ，就是张量加法。

张量的缩并（ Contraction）

缩并是张量中最重要的运算之一，它是矩阵乘法的推广。

核心思想：选择两个张量各自的一个维度，沿着这个维度求和，消除这个维度。

最熟悉的例子——矩阵乘法：

$$

C_{ik} = j A{ij} B_{jk} $$

这里 的第 2 个维度和 的第 1 个维度被"缩并"掉了。

张量的一般缩并：设 和 ，沿着共同维度 缩并：

结果 是一个 4 阶张量。

直观理解：缩并就像是"配对求和"。想象 和 各有一排数需要配对，配对的数相乘后求和，这个维度就消失了。

外积（ Outer Product）——构建张量的基本方式

外积是缩并的"反操作"，它把低阶张量组合成高阶张量。

两个向量的外积：

结果是一个矩阵， 位置的元素是 。

三个向量的外积：

结果是一个三阶张量。

秩-1 张量：能写成向量外积形式的张量叫做秩-1 张量。它是最"简单"的张量，因为它的结构完全由几个向量决定。

一个重要事实：任何张量都可以写成秩-1 张量的和。这就是张量分解的理论基础。

n-模乘积（ n-mode Product）

n-模乘积是将矩阵作用到张量某个模式上的运算。

定义：张量 与矩阵 的 n-模乘积：

其中

$$

y_{i_1 i_{n-1} j i_{n+1} i_N} = {i_n=1}^{I_n} x{i_1 i_N} a_{j i_n} $$

结果 。

矩阵语言描述：用展开来看更清晰：

$$

Y_{(n)} = A X_{(n)} $$

直观理解： n-模乘积就是"沿着第 n 个维度做线性变换"。

例子：对于彩色图像 ，如果我们用一个 的颜色变换矩阵 做 3-模乘积：

这就是对每个像素的颜色向量做线性变换（比如调整白平衡、色调映射等）。

重要性质：

  1. 不同模式的乘积可以交换顺序：（当 ）

  2. 同一模式的连续乘积：

Kronecker 积与 Khatri-Rao 积

这两个积在张量分解中经常出现。

Kronecker 积 ：

设 ，，则 ：

$$

A B =

$$

直观理解：把 的每个元素换成"那个元素乘以整个 "。

Khatri-Rao 积 （列式 Kronecker 积）：

设 ，（列数相同），则 ：

$$

A B = [_1 _1, _2 _2, , _R _R] $$

Khatri-Rao 积在 CP 分解中扮演核心角色。

张量范数

Frobenius 范数

张量的 Frobenius 范数是所有元素平方和的平方根：

重要性质：对于任意模式-n 展开，。

这意味着我们可以把张量展开成矩阵来计算范数，结果不变。

内积

两个同形状张量的内积：

显然，。

张量积：多重线性映射的观点

从更抽象的角度看，张量其实是多重线性映射的表示。

多重线性映射

线性映射大家都熟悉： 满足 。

双线性映射接收两个向量，对每个变量分别线性：

$$

f: V W U $$

满足： - - 例子：向量的外积 就是双线性的。

多重线性映射是双线性映射的推广，接收 个向量输入。

张量积空间

给定向量空间 和 ，它们的张量积 是一个新的向量空间，满足：

对任何双线性映射 ，存在唯一的线性映射 使得 。

通俗理解：张量积空间把"双线性"问题转化为"线性"问题。这就是为什么张量如此有用——它让我们可以用线性代数的工具处理多重线性问题。

CP 分解：将张量拆成简单成分

什么是 CP 分解？

CP 分解（ CANDECOMP/PARAFAC）把张量表示为秩-1 张量的加权和：

或者用更简洁的记号：

其中 ，， 称为因子矩阵。

直观理解：叠加简单模式

想象你在分析一个"用户-电影-时间"的评分张量。 CP 分解告诉你：

评分张量用户偏好电影特征时间模式

每个成分 代表一种"简单模式"：

  • 成分 1 可能是"喜欢动作片的年轻用户，周末看得多"
  • 成分 2 可能是"喜欢文艺片的中年用户，晚上看得多"
  • ...

所有简单模式叠加起来，就近似了复杂的原始数据。

张量秩

张量的秩是精确表示它所需的最少秩-1 成分数：

Extra close brace or missing open brace\text{rank}(\mathcal{X}) = \min\{R : \mathcal{X} = \sum_{r=1}^R \vec{a}_r \circ \vec{b}_r \circ \vec{c}_r}

与矩阵秩的关键区别：

  1. 矩阵秩可以通过 SVD 精确计算，但张量秩的计算是 NP-hard 的！
  2. 矩阵的最佳低秩近似由 SVD 给出，但张量的最佳低秩近似可能不存在（逼近但达不到）
  3. 张量秩可能超过任何一个维度的大小（而矩阵秩不超过行列数的较小者）

CP 分解的唯一性

CP 分解的一个重要优势是本质唯一性。在温和条件下（ Kruskal 条件）， CP 分解是唯一的（仅差列的排列和缩放）。

Kruskal 条件：如果 ，其中 是 的 Kruskal 秩（最大的 使得任意 列线性无关）。

这个唯一性是相对于矩阵分解（如 SVD）的重要优势。 SVD 得到的 和 可以差一个正交变换，而 CP 分解的因子在很大程度上是确定的，这对解释因子的实际意义非常有价值。

交替最小二乘（ ALS）算法

CP 分解最常用的算法是交替最小二乘（ ALS）：

思想：固定其他因子矩阵，优化一个因子矩阵，这变成普通的最小二乘问题。

算法步骤：

  1. 随机初始化 2. 重复直到收敛：
    • 固定 ，更新 ： - 固定 ，更新 ： - 固定 ，更新 ： 其中 表示 Hadamard（逐元素）积， 表示伪逆。

注意： ALS 不保证收敛到全局最优，但实践中通常表现良好。可以多次随机初始化，选择最好的结果。

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import numpy as np
import tensorly as tl
from tensorly.decomposition import parafac

# 创建一个模拟的用户-电影-时间评分张量
# 100 个用户， 50 部电影， 12 个月
np.random.seed(42)
n_users, n_movies, n_months = 100, 50, 12
X = np.random.rand(n_users, n_movies, n_months) * 5  # 评分 1-5

# CP 分解，提取 5 个潜在因子
weights, factors = parafac(tl.tensor(X), rank=5, n_iter_max=100)
user_factors, movie_factors, time_factors = factors

print(f"用户因子矩阵形状: {user_factors.shape}")  # (100, 5)
print(f"电影因子矩阵形状: {movie_factors.shape}")  # (50, 5)
print(f"时间因子矩阵形状: {time_factors.shape}")  # (12, 5)

Tucker 分解：更灵活的张量表示

Tucker 分解的定义

Tucker 分解是比 CP 分解更一般的形式：

或者用元素形式：

$$

x_{ijk} {p=1}^{P} {q=1}^{Q} {r=1}^{R} g{pqr} a_{ip} b_{jq} c_{kr} $$

其中 是核心张量，，， 是因子矩阵。

Tucker 与 CP 的关系

CP 是 Tucker 的特殊情况：当核心张量 是"超对角"的（只有 非零）， Tucker 就退化为 CP 。

Tucker 更灵活： CP 要求三个因子矩阵的列数相同（都是秩 ），而 Tucker 允许每个模式有不同的"秩"。

HOSVD：高阶奇异值分解

HOSVD（ Higher-Order SVD）是 Tucker 分解的一种特殊形式，它保证因子矩阵是正交的。

计算步骤：

  1. 对每个模式-n 展开 ，计算其 SVD
  2. 取左奇异向量的前 个作为因子矩阵 3. 核心张量 与矩阵 SVD 的类比：
矩阵 SVD HOSVD
是对角矩阵 不必对角（但有"全正交"性质）
正交 每个 正交

HOSVD 的应用：

  • 数据压缩：保留核心张量的主要成分
  • 初始化：为更精细的 Tucker 分解提供好的起点
  • 降噪：截断小的核心张量元素
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from tensorly.decomposition import tucker

# 对同一个评分张量做 Tucker 分解
# 将 100 个用户压缩到 10 维， 50 部电影压缩到 8 维， 12 个月压缩到 4 维
core, factors = tucker(tl.tensor(X), rank=[10, 8, 4])

print(f"核心张量形状: {core.shape}")  # (10, 8, 4)
print(f"因子矩阵形状: {[f.shape for f in factors]}")  # [(100, 10), (50, 8), (12, 4)]

# 压缩比
original_size = 100 * 50 * 12
compressed_size = 10 * 8 * 4 + 100 * 10 + 50 * 8 + 12 * 4
print(f"压缩比: {original_size / compressed_size:.2f}x")

多线性秩

Tucker 分解引出了多线性秩的概念：

多线性秩告诉你，沿着每个模式看，数据本质上是几维的。

深度学习中的张量：以 CNN 为例

深度学习框架为什么叫"TensorFlow"或使用"Tensor"？因为神经网络的计算本质上就是张量运算。

卷积操作的张量视角

考虑一个标准的 2D 卷积层：

输入： - ： batch size - ：输入通道数 - ：高度和宽度

卷积核： - ：输出通道数 - ：核的高度和宽度

输出：

卷积操作可以写成：

$$

y_{n,c_{out},h,w} = {c{in}} {k_h} {k_w} w_{c_{out},c_{in},k_h,k_w} x_{n,c_{in},h+k_h,w+k_w} $$

这就是一个复杂的张量缩并操作！

用张量分解压缩神经网络

神经网络的权重是巨大的张量。通过张量分解，我们可以大幅减少参数量。

卷积核的 CP 分解：

原始卷积核 可以近似为：

这等价于用 4 个更小的卷积层替代原来的 1 个大卷积层：

  1. 卷积：2. 卷积：深度方向
  2. 卷积：深度方向
  3. 卷积： 压缩效果：
  • 原始参数量：
  • 分解后参数量： 当 较小时，压缩比可以非常大。

实际例子： VGG-16 中一个 的卷积层有约 230 万参数。用秩-64 的 CP 分解，参数量降到约 6.6 万，压缩 35 倍！

Tucker 分解用于网络压缩

Tucker 分解在 CNN 压缩中也很常用，因为它允许输入/输出通道有不同的压缩率：

这等价于：

  1. 卷积降低输入通道：$C_{in} R_{in}小卷积核处理：R_{in} R_h R_w R_{out}$3. 卷积恢复输出通道：

推荐系统中的张量分解

从矩阵到张量：引入上下文

传统推荐系统用用户-物品矩阵：

$$

R ^{U I} $$

其中 是用户 对物品 的评分。矩阵分解（如 SVD 、 NMF）寻找：

$$

R P Q^T $$

其中 （用户特征），（物品特征）。

问题：用户偏好会随时间变化，也受场景影响。比如你周末和工作日想看的电影可能不同。

张量解决方案：引入时间维度，变成用户-物品-时间张量：

CP 分解给出：

其中 捕捉第 个因子的时间模式。

处理稀疏数据

实际推荐系统中，大部分用户只评价了很少的物品。张量极度稀疏（可能只有 0.1%的元素被观测到）。

带缺失值的 CP 分解：只在观测到的位置计算损失：

其中 是观测到的位置集合， 是正则化参数。

多维上下文推荐

可以加入更多维度：

  • 用户 × 物品 × 时间 × 地点 × 设备
  • 用户 × 物品 × 标签 × 评分类型

每个维度都可能提供有价值的信息。张量方法自然地处理这种多维交互。

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# 模拟一个简单的推荐系统张量分解
import numpy as np
from scipy.sparse import random as sparse_random

# 创建稀疏的用户-电影-月份评分张量
# 1000 用户， 500 电影， 12 个月，稀疏度 1%
np.random.seed(42)
n_users, n_items, n_time = 1000, 500, 12
density = 0.01

# 模拟稀疏观测
observed = np.random.rand(n_users, n_items, n_time) < density
ratings = np.random.randint(1, 6, size=(n_users, n_items, n_time)).astype(float)
ratings[~observed] = 0

print(f"观测到的评分数: {observed.sum()}")
print(f"稀疏度: {observed.sum() / (n_users * n_items * n_time) * 100:.2f}%")

# 使用 tensorly 进行带权重的 CP 分解
import tensorly as tl
from tensorly.decomposition import parafac

# 设置权重（只在观测位置计算损失）
weights = observed.astype(float)

# 对于稀疏张量，实际应用中会使用专门的稀疏张量分解库
# 这里简化演示
X_masked = ratings.copy()
X_masked[~observed] = np.nan

# 注：实际应用需要使用专门处理缺失值的算法

其他张量分解方法

张量链（ Tensor Train）分解

对于非常高阶的张量（比如量子物理中的多体系统）， CP 和 Tucker 分解的复杂度可能爆炸。张量链（ TT）分解是一种更可扩展的方法：

其中 是矩阵（）。

TT 分解的优势：

  • 参数量线性增长：，而不是指数增长
  • 存在稳定的算法（ TT-SVD）
  • 特别适合高阶张量

非负张量分解（ NTF）

当张量元素非负且需要可解释因子时，使用非负张量分解：

应用：

  • 图像分析（像素值非负）
  • 文本挖掘（词频非负）
  • 化学计量学（浓度非负）

非负约束使得因子更容易解释为"部分"或"成分"。

练习题

概念理解题

练习 1：判断以下数据结构的张量阶数：

  1. 一首 MP3 歌曲（单声道，采样率 44.1kHz）

  2. 一首立体声歌曲

  3. 一个 5 分钟的 1080p RGB 视频（ 30fps）

  4. ImageNet 数据集（ 100 万张 RGB 图片）

  5. 一个 Transformer 模型的注意力权重 练习 2：对于张量 ：

  6. 有多少个模式-1 纤维？每个纤维长度是多少？

  7. 有多少个正面切片？每个切片的形状是什么？

  8. 模式-2 展开 的形状是什么？

运算练习

练习 3：设 ，，。

  1. 计算外积

  2. 计算三阶张量 ，写出 的值

  3. 计算 练习 4：设 ，。

  4. 计算 Kronecker 积

  5. 验证 （设 为合适大小的矩阵）

分解练习

练习 5：考虑秩-2 张量 ，其中：

(a) 计算 的具体元素

  1. 写出三个模式的因子矩阵

  2. 计算模式-1 展开 练习 6：对于 单位张量（ 当且仅当 ）：

  3. 计算其 Frobenius 范数

  4. 它的 CP 秩是多少？（提示：考虑它是否可以写成少于 3 个秩-1 张量的和）

  5. 它的多线性秩是多少？

应用题

练习 7（推荐系统）：某视频平台有 3 个用户、 4 部电影、 2 个时间段。观测到的评分如下：

用户 电影 时间段 评分
1 1 1 5
1 2 1 4
2 1 2 3
2 3 1 5
3 2 2 2
3 4 1 4

  1. 构造评分张量 （未观测位置设为 0）

  2. 如果用秩-2 的 CP 分解，需要估计多少个参数？

  3. 讨论：用秩-1 分解 vs 秩-2 分解，可能存在什么 trade-off？

练习 8（图像压缩）：一张 的 RGB 图像可以看作 的张量。

  1. 原始存储需要多少字节（假设每个像素值用 1 字节）？

  2. 使用 Tucker 分解，设 ，压缩后需要存储多少字节？

  3. 计算压缩比

  4. 如果用 CP 分解，秩为 100，压缩后需要多少字节？

编程题

练习 9：用 Python 实现以下功能：

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# (a) 实现三阶张量的模式-n 展开
def unfold(X, mode):
    """
    将三阶张量 X 沿 mode 展开为矩阵
    X: ndarray of shape (I, J, K)
    mode: 0, 1, 或 2
    返回: 展开后的矩阵
    """
    pass

# (b) 实现 n-模乘积
def mode_n_product(X, A, mode):
    """
    计算张量 X 与矩阵 A 的 mode-模乘积
    X: ndarray of shape (I, J, K)
    A: ndarray of shape (P, I_mode)
    mode: 0, 1, 或 2
    返回: 乘积张量
    """
    pass

# (c) 实现 CP 分解的简单版本（使用 ALS）
def simple_cp_als(X, rank, n_iter=100):
    """
    对三阶张量 X 进行 CP 分解
    返回: (A, B, C) 三个因子矩阵
    """
    pass

练习 10：使用 tensorly 库完成以下任务：

  1. 生成一个秩-3 的随机 张量（先生成因子，再用外积构造）

  2. 对这个张量进行 CP 分解，分别用秩 2 、 3 、 4 、 5，比较重构误差

  3. 画出重构误差随秩变化的曲线

  4. 用 HOSVD 对同一张量分解，比较结果

证明题

练习 11：证明张量 Frobenius 范数与展开的关系：对任意模式$ n，||F = |X{(n)}|_F$。

练习 12：证明 n-模乘积的性质：

  2. 当 时， 练习 13：设 是秩-1 张量 。证明：

  4. 模式-1 展开

开放题

练习 14：你手上有一个"用户-商品-标签-时间"的四阶张量（来自电商平台的用户行为数据）。

  1. 讨论 CP 分解和 Tucker 分解各自的优缺点

  2. 设计一个方案，利用这个张量预测某用户下周可能购买什么商品

  3. 讨论数据稀疏性可能带来的问题及解决方案

练习 15：研究一篇使用张量分解压缩神经网络的论文，回答：

  1. 作者使用了什么分解方法？为什么选择这种方法？

  2. 压缩比和精度损失分别是多少？

  3. 你认为还有什么可以改进的地方？

本章总结

这一章我们从最基本的概念出发，系统学习了张量与多线性代数：

核心概念： - 张量是向量和矩阵到任意维度的推广 - 纤维、切片、展开是分析张量结构的基本工具 - 张量运算包括加法、数乘、缩并、外积、 n-模乘积等

张量分解： - CP 分解把张量表示为秩-1 成分的和，具有本质唯一性 - Tucker 分解更灵活，允许不同模式有不同秩 - HOSVD 是正交的 Tucker 分解，常用于初始化和数据压缩

实际应用： - 深度学习：卷积核压缩、网络加速 - 推荐系统：多维上下文建模 - 信号处理、化学计量学等领域

张量方法的核心思想是：把高维数据的复杂结构分解为简单成分的组合。这让我们能够压缩数据、提取特征、发现隐藏模式。随着数据维度越来越高，张量方法的重要性只会继续增长。

参考资料

  1. Kolda, T. G., & Bader, B. W. (2009). Tensor decompositions and applications. SIAM Review, 51(3), 455-500.

  2. Sidiropoulos, N. D., et al. (2017). Tensor decomposition for signal processing and machine learning. IEEE Transactions on Signal Processing, 65(13), 3551-3582.

  3. Cichocki, A., et al. (2015). Tensor decompositions for signal processing applications. IEEE Signal Processing Magazine, 32(2), 145-163.

  4. TensorLy 文档： Python 张量学习库

  5. Strang, G. (2019). Linear Algebra and Learning from Data. 第 7 章.

下一章预告：我们将学习线性代数在优化问题中的应用——从最小二乘到凸优化，看线性代数如何帮助我们找到最优解。

上一章回顾：第十二章：矩阵分解与特征值应用

本文是《线性代数的本质与应用》系列的第十三章。

  • 本文标题：线性代数（十三）张量与多线性代数
  • 本文作者：Chen Kai
  • 创建时间：2019-03-09 10:15:00
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