线性代数（二）线性组合与向量空间

想象你有一盒只有红、绿、蓝三支的彩色铅笔，你能画出多少种颜色？答案是：无穷多种。通过混合不同比例的 RGB，从深紫到浅黄，任何颜色都能被创造出来。这就是线性组合的威力——用有限的"原料"构建无限的可能。本章将揭示这个神奇的数学机制，以及它如何支撑起整个线性代数的大厦。

从调色说起：什么是线性组合？

在第 1 章中，我们理解了向量是带有方向和大小的量。现在，让我们思考一个更有趣的问题：如果给你几个向量，你能用它们"到达"空间中的哪些位置？

生活中的线性组合

在回答这个抽象问题之前，先看几个熟悉的场景：

场景一：调鸡尾酒

假设你是调酒师，有两种基酒：

基酒 A： 40 度酒精，每升含 10 克糖
基酒 B： 20 度酒精，每升含 30 克糖

你想调出一杯 30 度酒精、 20 克糖的鸡尾酒。怎么办？

如果用升 A 和升 B，那么：

酒精度：
含糖量：

解这个方程组，得 ——半升 A 加半升 B 。

这里，就是向量和的线性组合，系数分别是和。

场景二：走路导航

你站在路口，朋友告诉你："往东走 300 米，再往北走 400 米。"

用向量表示： - ：向东的单位向量 - ：向北的单位向量

你的位移是：这也是一个线性组合！系数是 300 和 400 。

场景三： RGB 颜色

计算机显示器上的每个像素，都是红(R)、绿(G)、蓝(B)三种光的混合：

$颜色红绿蓝$

其中。比如：

= 纯红
= 黄色（红+绿）
= 紫色

每种颜色都是红、绿、蓝三个"基础向量"的线性组合。

线性组合的数学定义

现在我们可以给出严格的定义了：

定义（线性组合）：给定向量和标量，它们的线性组合是： $$

c_1_1 + c_2_2 + + c_n_n > $$ > 这里称为系数或权重。

关键理解：

线性组合只涉及两种运算：标量乘法和向量加法
系数可以是任意实数（正、负、零都行）
"线性"这个词意味着没有平方、立方、乘积等非线性项

为什么叫"线性"？

考虑二维平面中的一个向量。

它的所有标量倍数构成什么？

当从变到时：

：原点
：
：
：

所有这些点连起来，构成一条过原点的直线！

这就是"线性"的几何来源：单个向量的标量倍数形成一条线。

二维空间中的线性组合

现在考虑两个不平行的向量和。

它们的线性组合 $Double subscripts: use braces to clarify c_1_1 + c_2_2 = (c_1, c_2)$ 能到达哪里？

当取遍所有实数时，覆盖了整个二维平面！

让我们验证几个点： - ✓ - ✓ - ✓

结论：两个不平行的向量的线性组合可以覆盖整个二维平面。

但如果两个向量平行呢？比如和？

注意到，它们的线性组合： $$

c_1_1 + c_2_2 = c_1(1, 2) + c_2 (1, 2) = (c_1 + 2c_2)(1, 2)$$

无论怎么取，结果都是的标量倍数——只能覆盖一条直线！

这引出了一个关键问题：给定一组向量，它们能"到达"的所有位置是什么？

张成空间（ Span）：向量能到达的所有地方

Span 的定义

定义（ Span/张成空间）：向量集合的span是它们所有可能的线性组合的集合： $Extra close brace or missing open brace\text{span}(\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_n) = \{c_1\vec{v}_1 + \cdots + c_n\vec{v}_n \mid c_1, \ldots, c_n \in \mathbb{R}}$

直觉： - Span 是你用这些向量能"到达"的所有位置 - 想象你有一个"向量遥控器"，可以调节每个向量的系数 - 调来调去，你能到达的所有位置，就是 span

不同情况的 Span

让我们系统地看看不同向量组合的 span：

情况一：单个非零向量

：一条过原点的直线（的方向）

例如：这是斜率为 2 的过原点直线。

情况二：两个共线向量（平行）

其中：还是一条直线

虽然有两个向量，但第二个提供不了新的"方向"，所以 span 不会变大。

情况三：两个不共线的二维向量

其中不平行：整个平面

例如： 情况四：两个三维向量

在中：一个过原点的平面

例如：是平面（的所有点）

情况五：三个共面的三维向量

仍然只是一个平面。第三个向量如果可以用前两个表示，就不会增加 span 。

情况六：三个不共面的三维向量

：整个三维空间

重要观察： Span 的形状

从上面的例子可以看出： - Span 总是过原点的（因为所有系数取 0 时得到零向量） - Span 是封闭的（ span 内两个点的线性组合还在 span 内） - Span 的"大小"取决于向量之间的"独立程度"

这些性质使得 span 成为一种特殊的几何对象——子空间（后面详述）。

Span 的实际意义

例 1：能否用现有材料配出目标？

化学实验室里有三种溶液： - 溶液 A：含 5%酸、 10%盐 - 溶液 B：含 10%酸、 5%盐 - 溶液 C：含 2%酸、 2%盐

问：能否配出 15%酸、 12%盐的混合液？

把每种溶液看作向量：问题变成：是否在内？

注意（验证：），实际上不平行，所以。

因此一定在 span 内，可以配出来！

例 2：图形学中的坐标系

在 3D 游戏中，每个物体有自己的局部坐标系，由三个向量定义。

物体表面的任何一点，都可以表示为这三个向量的线性组合。

如果，说明这个局部坐标系是"完整的"，能描述三维空间中的任何位置。

线性独立：没有冗余的向量组

从前面的讨论中，我们注意到一个现象：有时候增加向量并不会增加 span 。比如，当新向量可以被现有向量"表示"时。

这引出了线性代数中最重要的概念之一：线性独立。

从冗余说起

考虑三个向量： - - - 这三个向量的 span 是什么？

注意到，所以： $$

c_1_1 + c_2_2 + c_3_3 = c_1_1 + c_2_2 + c_3(_1 + _2) = (c_1 + c_3)_1 + (c_2 + c_3)_2$$

所以是冗余的——移除它不影响 span 。

线性独立的定义

定义（线性独立）：向量集合是线性独立的，当且仅当： $$

c_1_1 + c_2_2 + + c_n_n = $ $只有当$ c_1 = c_2 = = c_n = 0$ 时才成立。

等价地说：如果存在不全为零的系数使得线性组合等于零向量，则向量组线性相关。

直觉理解： - 线性独立 = 没有向量是"多余的" - 线性独立 = 每个向量都提供了新的"方向" - 线性独立 = 不能用其他向量"凑出"任何一个向量

几何理解

二维情况： - 两个向量线性独立它们不平行 - 两个向量线性相关它们共线

三维情况： - 三个向量线性独立它们不共面 - 三个向量线性相关它们共面

判断线性独立的方法

方法一：定义法

设$ c_1_1 + + c_n_n = $，解这个齐次方程组。如果只有零解$ (0, 0, , 0)$：线性独立 - 如果有非零解：线性相关

例子：判断是否线性独立。

设得方程组： $$

c_1 + 4c_2 + 7c_3 = 0$

解得：$ c_1 = 1, c_2 = -2, c_3 = 1 $（验证：$ (1, 2, 3) - 2(4, 5, 6) + (7, 8, 9) = (0, 0, 0)$）

存在非零解，所以这三个向量线性相关！

实际上，而，所以。

方法二：行列式法（仅适用于个维向量）

把个维向量作为列（或行）组成矩阵，计算行列式： - 行列式：线性独立 - 行列式：线性相关

例如上面的例子：

所以线性相关。（行列式的计算方法将在第 4 章详述）

线性独立的重要性质

性质 1：如果线性独立，则它的任何子集也线性独立。

反过来：如果某个子集线性相关，则整体也线性相关。

性质 2：在中，超过个向量一定线性相关。

直觉：维空间最多只有个"独立方向"。

性质 3：如果线性独立且，则的表示方式唯一。

这个性质极其重要——它保证了坐标的唯一性。

线性相关的等价条件

以下条件等价（任选一个来判断）：

线性相关
存在不全为零的使得 $Double subscripts: use braces to clarify c_i_i =$ 3. 某个向量可以写成其他向量的线性组合
移除某个向量不改变 span
（对个维向量）组成的矩阵行列式为 0

基（ Basis）：最小的完整集合

现在我们可以定义线性代数中最核心的概念之一：基。

基的定义

定义（基）：向量空间的一组基是满足以下两个条件的向量集合${_1, , _n} $：线性独立：没有冗余张成$ V $：$ (_1, , _n) = V$ 直觉： - 基是"最小的完整工具箱" - "完整"指能表示空间中任何向量 - "最小"指没有多余的向量

标准基

的标准基由个向量组成：

每个在第个位置是 1，其余位置是 0 。

例如的标准基：

标准基的特点： - 相互垂直（正交） - 长度都是 1（单位向量） - 坐标就是在标准基下的系数：

非标准基

基并不唯一！的以下向量组都是基：

例 1：验证： - 线性独立？设$ c_1(1, 1) + c_2(1, -1) = (0, 0) $，得$ c_1 + c_2 = 0, c_1 - c_2 = 0 $，所以$ c_1 = c_2 = 0 $。张成$ ^{2 $？两个不平行的二维向量张成整个$}2$。✓

例 2：这是标准基的"拉伸版"——沿轴拉伸 2 倍，沿轴拉伸 3 倍。

例 3：这是一个"斜的"基，但仍然有效。

坐标：同一向量在不同基下的表示

向量在不同基下的坐标是什么？

标准基下：，坐标是 基下：设得$ a + b = 3, a - b = 2 $，解得$ a = 2.5, b = 0.5$ 坐标是 关键理解： - 同一个向量（空间中的同一个箭头）在不同基下有不同的坐标 - 坐标只有在指定基之后才有意义 - 我们平时写的隐含了标准基

基的存在性与唯一性

存在性定理：每个非零向量空间都有基。

唯一性：基不唯一，但基中的向量个数是唯一的（这就是维度）。

如何找基？

方法：从空间中任选向量，逐个添加，每次检查是否还线性独立。当无法再添加时（任何新向量都会导致线性相关），就得到了一组基。

维度：空间的"自由度"

维度的定义

定义（维度）：向量空间的维度是的任意一组基所含的向量个数。记作。

为什么定义合理？ 有一个重要定理保证：同一个向量空间的所有基，向量个数相同。

维度的直觉

维度可以理解为： - 描述空间中一个点需要多少个独立参数 - 空间中有多少个独立的移动方向 - 能容纳的最大线性独立向量数

常见空间的维度

空间	维度	说明
一个点（零向量空间）	0	没有移动自由度
一条直线	1	只能前后移动
一个平面	2	前后+左右
三维空间	3	前后+左右+上下
		个独立方向

维度与线性独立的关系

关键定理：在维空间中： - 超过个向量一定线性相关 - 恰好个线性独立的向量构成基 - 少于个向量不可能张成整个空间

例子：在中： - 4 个向量一定线性相关（可能张成，但有冗余） - 3 个线性独立的向量是基 - 2 个向量最多张成一个平面

子空间：空间中的空间

子空间的定义

定义（子空间）：向量空间的子空间是的子集，满足： 1. 包含零向量：> 2. 对加法封闭：若，则> 3. 对标量乘法封闭：若，则对任意标量直觉：子空间是"空间中的空间"——它本身也是一个向量空间，但"住在"更大的空间里。

子空间的例子

的子空间：

零空间：只包含零向量，维度为 0
过原点的直线：如，维度为 1
过原点的平面：如${(x, y, 0) x, y } $（$ xy$ 平面），维度为 2
本身：维度为 3

注意：不过原点的直线或平面不是子空间！

例如，${(x, y, 1) x, y } $（$ z = 1$ 的平面）不是子空间，因为： - 不包含零向量 - ，，不封闭

Span 作为子空间

重要事实：任何向量组的 span 都是子空间。

满足： 1. ✓ 2. 两个线性组合相加还是线性组合 ✓ 3. 线性组合乘以标量还是线性组合 ✓

这给了我们构造子空间的简单方法：取一些向量，求它们的 span 。

子空间的交与和

交：两个子空间的交集还是子空间。

例如：中平面和平面的交是轴。

和： $Double subscripts: use braces to clarifyW_1 + W_2 = {_1 + _2 _1 W_1, _2 W_2}$ 例如：轴和轴的和是平面。

维度公式：

实战案例： RGB 颜色空间

让我们深入探讨 RGB 颜色空间这个实际应用。

RGB 模型的数学结构

在 RGB 颜色模型中： - 每种颜色表示为三维向量 - $ r, g, b $（位颜色深度）或$ [0, 1]$（归一化）

三个基础颜色向量：

任何颜色都是它们的线性组合： $颜色$

颜色混合的线性性

加法混合（光的混合，如显示器）： $颜色颜色$

例如：红加绿等于黄 亮度调节： $$

c = (cr, cg, cb)$$ 变暗，变亮。

颜色空间作为向量空间

严格来说，如果限制， RGB 颜色空间不是向量空间（对加法和标量乘法不封闭）。

但如果我们允许$ r, g, b $（理论上的扩展），就得到了$ ^3$ 向量空间。

实际应用：图像处理中，中间计算常用浮点数（不限制范围），最后才裁剪到。

颜色空间的子空间

灰度图像：的颜色

$Extra close brace or missing open brace\text{灰度} = \{(t, t, t) \mid t \in \mathbb{R}} = \text{span}((1, 1, 1))$

这是的 1 维子空间（过原点的直线）。

红绿色盲看到的颜色：

某些类型的色盲只能区分蓝色和黄色（红+绿），相当于把投影到 2 维子空间。

颜色空间变换

不同的颜色空间（ RGB 、 HSV 、 LAB 等）对应不同的基选择。

从 RGB 到另一个颜色空间，就是基变换——这涉及到矩阵乘法（下一章内容）。

Python 实现

让我们用代码验证本章的概念。

判断线性独立

import numpy as np

def is_linearly_independent(vectors):
    """
    判断向量组是否线性独立
    vectors: 向量列表，每个向量是 numpy 数组
    """
    if len(vectors) == 0:
        return True
    
    # 将向量作为列组成矩阵
    matrix = np.column_stack(vectors)
    
    # 计算秩
    rank = np.linalg.matrix_rank(matrix)
    
    # 如果秩等于向量个数，则线性独立
    return rank == len(vectors)

# 测试
v1 = np.array([1, 2, 3])
v2 = np.array([4, 5, 6])
v3 = np.array([7, 8, 9])

print(f"v1, v2, v3 线性独立: {is_linearly_independent([v1, v2, v3])}")  # False

v4 = np.array([1, 0, 0])
v5 = np.array([0, 1, 0])
v6 = np.array([0, 0, 1])

print(f"v4, v5, v6 线性独立: {is_linearly_independent([v4, v5, v6])}")  # True

检查向量是否在 Span 内

def is_in_span(target, basis_vectors):
    """
    检查 target 向量是否在 basis_vectors 的 span 内
    """
    matrix = np.column_stack(basis_vectors)
    
    # 尝试解线性方程组 matrix @ coeffs = target
    try:
        coeffs, residuals, rank, s = np.linalg.lstsq(matrix, target, rcond=None)
        # 检查是否真的是解（残差足够小）
        reconstructed = matrix @ coeffs
        return np.allclose(reconstructed, target)
    except:
        return False

# 测试
v1 = np.array([1, 0])
v2 = np.array([0, 1])
target = np.array([3, 5])

print(f"(3,5) 在 span(v1, v2) 内: {is_in_span(target, [v1, v2])}")  # True

v3 = np.array([1, 1])
v4 = np.array([2, 2])  # 与 v3 共线
target2 = np.array([1, 0])

print(f"(1,0) 在 span(v3, v4) 内: {is_in_span(target2, [v3, v4])}")  # False

可视化 Span

import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

def visualize_span_2d(v1, v2, num_points=50):
    """可视化两个二维向量的 span"""
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))
    
    # 生成网格
    c1 = np.linspace(-2, 2, num_points)
    c2 = np.linspace(-2, 2, num_points)
    
    for i in c1:
        for j in c2:
            point = i * v1 + j * v2
            ax.plot(point[0], point[1], 'b.', alpha=0.3, markersize=2)
    
    # 画原始向量
    ax.quiver(0, 0, v1[0], v1[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='r', width=0.02)
    ax.quiver(0, 0, v2[0], v2[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='g', width=0.02)
    
    ax.set_xlim(-5, 5)
    ax.set_ylim(-5, 5)
    ax.set_aspect('equal')
    ax.grid(True)
    ax.set_title('Span of two vectors')
    plt.show()

# 示例
v1 = np.array([1, 0.5])
v2 = np.array([0.3, 1])
visualize_span_2d(v1, v2)

常见误区与澄清

误区 1："向量和可以张成二维平面"

错误！，它们共线，只能张成一条直线。

误区 2："三个向量一定比两个向量张成更大的空间"

不一定！如果第三个向量在前两个的 span 内，空间不会变大。

误区 3："线性独立的向量一定正交（垂直）"

错误！和线性独立但不正交。正交是比线性独立更强的条件。

误区 4："基是唯一的"

错误！同一个空间可以有无穷多组基。但维度（基的大小）是唯一的。

误区 5："子空间可以是任意子集"

错误！子空间必须满足三个条件（含零、加法封闭、标量乘法封闭）。

练习题

基础题

1. 判断以下向量组是否线性独立：

2. 求以下向量组的 span 的维度：
在中
在中
在中

3. 能否表示为和的线性组合？如果能，求系数。

4. 的维度是多少？需要多少个向量构成基？

5. 判断以下集合是否是的子空间：

进阶题

6. 证明：如果线性独立，则也线性独立。

7. 给定，找一个使得是的基。

8. 证明：中任意个向量一定线性相关。

9. 设，。求和。

10. 证明：如果线性独立，，则可以唯一地表示为的线性组合。

思考题

11. RGB 颜色空间是 3 维的。能否只用 2 种颜色的混合表示所有颜色？为什么？

12. 考虑所有实矩阵的集合，定义矩阵的加法和标量乘法。这是向量空间吗？如果是，维度是多少？给出一组基。

13. 为什么过原点的直线是子空间，而不过原点的直线不是？从定义的三个条件分析。

14. 在中， 100 个随机向量几乎总是线性独立的，而 101 个向量一定线性相关。为什么？

编程题

15. 用 Python 实现一个函数，判断给定向量组是否线性独立。用行列式或秩的方法。

16. 实现一个函数，给定一组向量，找出其中一个极大线性独立子集（即构成 span 的基）。

17. 写一个程序，可视化 3D 空间中两个向量张成的平面。

18. 实现一个交互程序：用户输入两个 2D 向量和系数，程序显示线性组合的结果，并可视化"在 span 中移动"的效果。

本章小结

本章我们建立了线性代数的核心概念框架：

概念	定义	直觉
线性组合		向量的加权求和
Span	所有可能的线性组合	能到达的所有位置
线性独立	唯一零解	没有冗余
基	独立+张成	最小完整集合
维度	基的大小	自由度
子空间	含零+封闭	空间中的空间

这些概念将贯穿整个线性代数：

第 3 章：矩阵的列向量的 span 是列空间
第 4 章：行列式判断是否线性独立
第 5 章：线性方程组的解空间是子空间
第 6 章：特征向量形成特殊的基
第 7 章：正交基简化计算
第 9 章： SVD 给出"最优"的基

预告：下一章

《矩阵作为线性变换》

矩阵不只是数字表格——它是变换的代理人！

我们将探索： - 矩阵乘以向量的几何意义 - 旋转、缩放、剪切、投影的矩阵表示 - 矩阵乘法 = 变换的复合 - 行列式 = 变换对面积/体积的影响

准备好改变你对矩阵的看法！

参考资料

Strang, G. (2019). Linear Algebra and Learning from Data. Chapter 1.
3Blue1Brown. Essence of Linear Algebra, Chapters 2-3. [YouTube]
Axler, S. (2015). Linear Algebra Done Right. Chapter 1-2.
Boyd, S., & Vandenberghe, L. (2018). Introduction to Applied Linear Algebra. Chapter 2-5.
Horn, R. A., & Johnson, C. R. (2012). Matrix Analysis. Chapter 0.

本文是《线性代数的本质与应用》系列的第 2 章。