线性代数（三）矩阵作为线性变换

在前两章中，我们建立了向量和向量空间的概念。如果说向量是空间中的"居民"，那么矩阵就是改变这个空间的"魔法"。今天我们要揭开矩阵的真面目：矩阵不是一堆数字排成的表格，而是一种对空间的变换方式。这个视角的转变，将彻底改变你对线性代数的理解。

从数字表格到空间变换：一次认知革命

打开任何一本传统的线性代数教材，矩阵通常是这样被介绍的：

$$

A =

$$ "这是一个 的矩阵，由 4 个元素组成。矩阵可以进行加法、数乘、乘法运算……"

这种介绍虽然正确，却像是只告诉你汽车有四个轮子和一个方向盘，却不告诉你汽车是用来代步的。你可能学会了矩阵乘法的计算规则，却完全不理解为什么要这样定义，为什么矩阵乘法不满足交换律，为什么 矩阵只能与 矩阵相乘。

现在，让我告诉你矩阵的真正含义。

矩阵是一个函数

矩阵 本质上是一个函数（或者叫映射、变换）。它接收一个向量作为输入，输出另一个向量：

你可以把矩阵想象成一台"向量加工机器"：把原料向量放进去，出来的是加工后的向量。

生活类比：复印机的缩放功能

想象一台复印机，它有一个"缩放"旋钮。当你设置为 150%时，复印出来的文件比原件大 1.5 倍；设置为 50%时，复印件缩小一半。这个缩放功能就是一种"变换"——它把原图像变成新图像。

矩阵做的事情类似，只不过更加丰富：它不仅能缩放，还能旋转、剪切、反射，甚至把三维物体"压扁"成二维图像（投影）。

不是所有变换都叫"线性变换"

矩阵代表的不是任意变换，而是一类特殊的变换——线性变换。

一个变换 是线性的，当且仅当它满足两个条件：

条件一：加法保持性 $$

T( + ) = T() + T() $$

条件二：数乘保持性 $$

T(c) = cT() $$

这两个条件可以合并成一个更简洁的形式： $$

T(a + b) = aT() + bT() $$

几何上的理解

线性变换有三个显著的几何特征：

1. 原点不动：。无论如何变换，原点永远在原点。
2. 直线还是直线：变换前的直线，变换后仍然是直线（不会弯曲）。
3. 平行线保持平行：两条平行线变换后仍然平行，间距可能变化但比例保持。

生活类比：拉伸橡皮膜

想象一块画着网格的橡皮膜钉在原点。你可以拉伸它、旋转它、倾斜它，但不能把它撕裂或折叠。这样的变换就是线性变换：网格线仍然是直的，平行的线仍然平行，原点仍然在原地。

反例：哪些不是线性变换？

• 平移：。平移会移动原点，所以不是线性变换。
• 弯曲：把直线变成曲线的变换不是线性的。
• 投影到曲面：比如把平面投影到球面。

矩阵的列：基向量的"目的地"

现在来看最关键的洞察：矩阵的列告诉我们基向量去了哪里。

标准基向量的命运决定一切

在二维空间中，标准基向量是：

任何向量都可以写成：

现在，如果我们知道线性变换 把 变成了，把 变成了，那么 会变成什么？

利用线性变换的性质： $$

T() = T(x_1 + y_2) = xT(_1) + yT(_2) = x_1' + y_2' $$

太神奇了！只要知道基向量的去向，就能算出任意向量的去向！

矩阵的列就是变换后的基向量

假设：

那么变换 对应的矩阵就是： $$

A = =

$$

矩阵的第一列是 变换后的位置，第二列是 变换后的位置。

实例计算

假设变换后： - 变成了 - 变成了 矩阵为： $$

A =

$$

现在计算 的像： $$

A = = 2

• 3 = = $$

这正是线性组合的体现：新向量 = 2 倍的（新）+ 3 倍的（新）。

Q：为什么不是"行"而是"列"？

这是一个历史和约定的问题。之所以用列来存放变换后的基向量，是为了让矩阵乘向量的运算自然地表示为"线性组合"。如果向量写成列向量，那么 的结果就是 的各列按 的分量加权求和。这种约定让矩阵乘法有了清晰的几何意义。

常见线性变换的矩阵表示

现在让我们来看几类最常见的线性变换，以及它们对应的矩阵。

旋转（ Rotation）

问题：逆时针旋转 角的矩阵是什么？

推导：追踪基向量的去向。

在单位圆上对应角度。旋转 后，角度变成，所以： 在单位圆上对应角度（即）。旋转 后，角度变成，所以：

因此，旋转矩阵为： $$

R() =

$$

特例：

• 旋转：
• 旋转：
• 旋转（或）： 生活案例：游戏角色转向

在 2D 游戏中，当玩家按下方向键让角色转身时，程序需要旋转角色的朝向向量。如果角色原本面向（右方），玩家按下"向上"使其逆时针转，新的朝向就是：

$$

R(90 °) = =

$$

角色现在面向上方。

缩放（ Scaling）

问题：沿 轴缩放 倍、沿 轴缩放 倍的矩阵是什么？

推导： - 变成 - 变成 缩放矩阵： $$

S(s_x, s_y) =

$$

特例：

• 均匀缩放 倍：
• 沿 轴拉伸 2 倍：
• 沿 轴压缩到一半： 生活案例：图片缩放

当你在图片编辑软件中调整图片大小时，软件实际上在对每个像素的坐标应用缩放变换。如果你把一张 的图片缩小到，缩放因子是，每个像素 会变成。

剪切（ Shear）

剪切变换是一种"倾斜"变换，它保持一个方向不变，但沿另一个方向"推"。

水平剪切（沿 方向）：

这个变换保持 坐标不变，但 坐标增加。

垂直剪切（沿 方向）：

生活案例：斜体字

当文字处理软件把正体字变成斜体时，使用的就是剪切变换。字母的底部保持不动，顶部向右倾斜。如果斜体角度是，剪切系数。

案例：风中的草

想象一片草地，草原本垂直向上生长。当风从右边吹来，草会向左倾斜，但根部（地面）不动。这就是剪切变换的效果：离地面越高的点，水平位移越大。

反射（ Reflection）

关于 轴反射： - 不变 - 变成 关于 轴反射：

关于原点反射（相当于旋转）：

关于直线 反射：

这个矩阵交换 和 坐标，点 变成。

关于任意直线 反射：

通过推导（先旋转使直线与 轴重合，关于 轴反射，再旋转回来），可得：

生活案例：镜子中的自己

当你照镜子时，你看到的像是原物体关于镜面的反射。如果镜子是垂直的（沿 轴），你的左手在像中变成了右手（ 坐标取反），但高度不变（ 坐标不变）。

投影（ Projection）

投影到 轴： $$

P_x =

$$

这把所有向量"压扁"到 轴上：。

投影到 轴： $$

P_y =

$$

**投影到直线$ y = x$

P_{y=x} =

$$

生活案例：影子

中午太阳在正上方时，你的影子就是你投影到地面（ 平面）的结果。如果把人简化为三维空间中的点集，影子就是每个点的 坐标变成 0 后得到的图形。

变换矩阵总结表

变换类型	矩阵	效果
旋转		逆时针旋转
缩放		沿坐标轴缩放
水平剪切		水平方向倾斜
关于 轴反射		上下翻转
关于 轴反射		左右翻转
投影到 轴		压扁到 轴

矩阵乘法：变换的复合

连续变换的问题

假设我们要对一个向量 先进行变换，再进行变换。结果是什么？

先应用： 再应用： 利用矩阵乘法的结合律：

结论：先 后 的复合变换对应矩阵（注意顺序！）。

为什么是 而不是？

这是因为我们把向量写成列向量，矩阵乘向量是从右边乘的。 表示先作用， 表示再作用。按从内到外的顺序读，先 后，对应的复合矩阵就是。

记忆口诀：矩阵乘法，从右往左读。 意思是"先，再，最后"。

矩阵乘法的几何意义

矩阵 的列是什么？

的第一列 = 作用在 的第一列上 = 作用在" 变换后的"上

的第二列 = 作用在 的第二列上 = 作用在" 变换后的"上

也就是说：复合变换 的列，是把 变换后的基向量再通过 变换的结果。

实例：先旋转再缩放

设旋转 的矩阵为： $$

R =

$$

沿 轴拉伸 2 倍的矩阵为： $$

S =

$$

先旋转再缩放（）： $$

SR = =

$$

先缩放再旋转（）： $$

RS = =

$$

！ 矩阵乘法不满足交换律。

几何解释：

• 先旋转再缩放：正方形先转，变成菱形姿态，然后沿 轴拉伸。
• 先缩放再旋转：正方形先沿 轴拉伸成长方形，然后整个长方形转。

最终形状不同！

矩阵乘法的结合律

虽然矩阵乘法不满足交换律，但它满足结合律：

几何解释：无论你怎么分组，最终执行的变换序列是一样的。 和都表示"先，再，最后"。

形式证明：

对于任意向量：

由于这对所有 成立，所以。

结合律的实用意义：

当你需要对大量向量（比如一百万个像素点）应用同一系列变换时，可以先把所有变换矩阵乘起来得到一个总矩阵，然后用这个总矩阵一次性变换所有向量。这比逐个应用变换快得多。

例如：在 3D 游戏中，一个物体可能需要： 1. 缩放（） 2. 旋转（） 3. 平移（用齐次坐标处理）

与其对每个顶点分别应用三次变换，不如先算出（注意顺序），然后对每个顶点只做一次乘法。

图像变换实战案例

让我们用 Python 来实际操作图像变换。

案例一：旋转一张图片

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from PIL import Image

def rotate_image(image, angle_degrees):
    """旋转图像（逆时针）"""
    angle = np.radians(angle_degrees)
    
    # 旋转矩阵
    R = np.array([
        [np.cos(angle), -np.sin(angle)],
        [np.sin(angle),  np.cos(angle)]
    ])
    
    h, w = image.shape[:2]
    center = np.array([w/2, h/2])
    
    # 创建输出图像
    output = np.zeros_like(image)
    
    for y in range(h):
        for x in range(w):
            # 相对于中心的坐标
            pos = np.array([x, y]) - center
            # 逆变换找源坐标
            src_pos = np.linalg.inv(R) @ pos + center
            src_x, src_y = int(src_pos[0]), int(src_pos[1])
            
            if 0 <= src_x < w and 0 <= src_y < h:
                output[y, x] = image[src_y, src_x]
    
    return output

# 使用示例
# img = np.array(Image.open('photo.jpg'))
# rotated = rotate_image(img, 45)
# plt.imshow(rotated)

关键点：在图像变换中，我们通常使用"逆向映射"——对于输出图像的每个像素，计算它在原图中对应的位置，然后取该位置的颜色。这避免了正向映射可能导致的空洞。

案例二：实时 2D 游戏变换

import numpy as np

class Transform2D:
    """2D 游戏物体的变换类"""
    
    def __init__(self):
        self.position = np.array([0.0, 0.0])
        self.rotation = 0.0  # 弧度
        self.scale = np.array([1.0, 1.0])
    
    def get_matrix(self):
        """获取组合变换矩阵（ 3x3 齐次坐标）"""
        # 缩放矩阵
        S = np.array([
            [self.scale[0], 0, 0],
            [0, self.scale[1], 0],
            [0, 0, 1]
        ])
        
        # 旋转矩阵
        c, s = np.cos(self.rotation), np.sin(self.rotation)
        R = np.array([
            [c, -s, 0],
            [s,  c, 0],
            [0,  0, 1]
        ])
        
        # 平移矩阵
        T = np.array([
            [1, 0, self.position[0]],
            [0, 1, self.position[1]],
            [0, 0, 1]
        ])
        
        # 组合：先缩放，再旋转，最后平移
        return T @ R @ S
    
    def transform_point(self, point):
        """变换一个点"""
        p = np.array([point[0], point[1], 1])
        result = self.get_matrix() @ p
        return result[:2]
    
    def transform_points(self, points):
        """批量变换多个点"""
        # 转换为齐次坐标
        n = len(points)
        homogeneous = np.ones((3, n))
        homogeneous[:2, :] = np.array(points).T
        
        # 一次性变换所有点
        result = self.get_matrix() @ homogeneous
        return result[:2, :].T

# 使用示例
transform = Transform2D()
transform.position = np.array([100, 50])
transform.rotation = np.pi / 4  # 45 度
transform.scale = np.array([2.0, 1.5])

# 变换一个正方形的四个顶点
square = [[-1, -1], [1, -1], [1, 1], [-1, 1]]
transformed_square = transform.transform_points(square)
print(transformed_square)

案例三：图像剪切效果

def shear_image(image, shear_x=0, shear_y=0):
    """对图像应用剪切变换"""
    h, w = image.shape[:2]
    
    # 剪切矩阵
    shear_matrix = np.array([
        [1, shear_x],
        [shear_y, 1]
    ])
    
    # 计算输出尺寸
    corners = np.array([[0, 0], [w, 0], [w, h], [0, h]]).T
    new_corners = shear_matrix @ corners
    
    min_x, max_x = new_corners[0].min(), new_corners[0].max()
    min_y, max_y = new_corners[1].min(), new_corners[1].max()
    
    new_w = int(max_x - min_x)
    new_h = int(max_y - min_y)
    
    output = np.zeros((new_h, new_w, *image.shape[2:]), dtype=image.dtype)
    
    inv_shear = np.linalg.inv(shear_matrix)
    
    for y in range(new_h):
        for x in range(new_w):
            src = inv_shear @ np.array([x + min_x, y + min_y])
            src_x, src_y = int(src[0]), int(src[1])
            
            if 0 <= src_x < w and 0 <= src_y < h:
                output[y, x] = image[src_y, src_x]
    
    return output

三维空间中的变换

以上讨论的都是二维变换，但同样的思想可以推广到三维（以及更高维）。

三维旋转矩阵

绕 轴旋转： $$

R_z() =

$$

绕 轴旋转： $$

R_x() =

$$

绕 轴旋转： $$

R_y() =

$$

三维缩放矩阵

$$

S(s_x, s_y, s_z) =

$$

投影到平面

正交投影到 平面（丢弃 坐标）： $$

P_{xy} =

$$

透视投影（用于 3D 图形渲染）更加复杂，涉及齐次坐标和非线性变换，这里不详细展开。

逆矩阵：撤销变换

什么是逆矩阵？

如果矩阵 代表一个变换，那么逆矩阵 代表"撤销"这个变换： $$

A^{-1}A = AA^{-1} = I $$

其中 是单位矩阵，代表"什么都不做"的变换。

例子： - 旋转 的逆是旋转： - 缩放 的逆是缩放（前提是） - 反射的逆是它自己：反射两次回到原位

什么时候矩阵有逆？

不是所有变换都能撤销。

例子：投影到 轴的矩阵 没有逆矩阵。因为投影把所有点都压扁到一条线上，信息丢失了。 和都变成了，无法区分它们原本是谁。

可逆的条件：

变换可逆 变换不会"降维" 行列式 关于行列式，我们将在下一章详细讨论。

矩阵的逆的公式

对于，如果$ ad - bc $

A^{-1} =

$$

其中 就是矩阵 的行列式。

线性变换的核（ Kernel）与像（ Image）

核：被变换到原点的向量集合

变换 的核（或零空间）定义为：

例子：投影到 轴的核是 轴（所有 轴上的点都被投影到原点）。

像：所有输出向量的集合

变换 的像（或值域）定义为：

例子：投影到 轴的像是 轴本身。

秩-零化度定理

这告诉我们：如果一个变换"压扁"了一些维度（核不只有零向量），那么它的像的维度就会相应减少。

常见问题解答

Q1：平移是线性变换吗？

不是。平移 会移动原点：。在计算机图形学中，为了用矩阵表示平移，我们引入齐次坐标，把二维向量 表示为三维向量，这样平移就可以用 矩阵表示了。

Q2：为什么矩阵乘法要这样定义？

矩阵乘法的定义正是为了让"矩阵的乘积"对应"变换的复合"。如果 代表变换， 代表变换，那么 就代表"先 后"的复合变换。乘法规则是从这个目标倒推出来的。

Q3：旋转矩阵为什么这么特殊？

旋转矩阵保持长度和角度不变（是正交变换），而且行列式为 1（保持方向，不反射）。这类矩阵构成 群（二维特殊正交群），有很好的数学性质。

Q4：实际应用中，变换是怎么组合的？

在游戏引擎或图形软件中，通常的顺序是：缩放 → 旋转 → 平移。这被称为"TRS"顺序（ Transform = Translate × Rotate × Scale）。注意因为矩阵从右往左作用，所以在矩阵乘法中是先写，再写，最后写。

练习题

基础题

第 1 题：矩阵 代表什么几何变换？画出单位正方形变换前后的图形。

第 2 题：写出关于 轴反射的矩阵。验证它把点 变换到了正确的位置。

第 3 题：计算旋转矩阵 的平方，验证它等于。

第 4 题：矩阵 是什么变换？把单位正方形的四个顶点 变换后画出来。

第 5 题：证明恒等变换 对任意向量都有。

进阶题

第 6 题：找一个 矩阵，使得 先关于 轴反射，再逆时针旋转。

第 7 题：证明旋转矩阵 的逆矩阵是，即。

第 8 题：证明如果 和都是可逆矩阵，则。（提示：验证）

第 9 题：设，计算。你发现了什么规律？

第 10 题：证明：如果矩阵 满足，则 是它自己的逆矩阵。举出三个这样的矩阵（除了 和）。

第 11 题：设 是旋转 的矩阵， 是均匀缩放 倍的矩阵。证明（这两个变换可以交换顺序）。解释其几何原因。

证明题

第 12 题：证明矩阵乘法满足结合律。（提示：用分量形式证明两边相等）

第 13 题：证明如果 是线性变换，则 把原点映射到原点：。

第 14 题：证明两个线性变换的复合仍是线性变换。即，如果 和都是线性的，则 也是线性的。

第 15 题：证明旋转矩阵 满足，其中 是转置。这说明旋转矩阵是正交矩阵。

编程题

第 16 题：用 Python 编写一个函数，输入一个 矩阵，输出它对单位正方形的变换效果图（用 matplotlib 画出变换前后的正方形）。

第 17 题：实现一个动画，展示向量随着旋转角度从 到 变化时的运动轨迹。

第 18 题：编写一个图像旋转函数，支持任意角度旋转，并使用双线性插值来避免锯齿。

第 19 题：实现一个简单的 2D 粒子系统，每个粒子有位置、速度、旋转角度、大小。使用矩阵变换来更新和渲染粒子。

第 20 题：实现一个交互式程序，让用户通过滑块调整旋转角度、缩放因子、剪切系数，实时显示一张图片的变换效果。

思考题

第 21 题：为什么计算机图形学中要使用 矩阵来表示 3D 变换，而不是 矩阵？

第 22 题：在机器学习中，神经网络的每一层都可以看作一个线性变换（矩阵乘法）加上一个非线性激活函数。为什么需要非线性激活函数？如果没有它，多层神经网络会怎样？

第 23 题：卫星图像通常需要经过几何校正才能使用。这个校正过程涉及到哪些类型的变换？为什么简单的线性变换可能不够？

本章总结

本章我们揭示了矩阵的真正面目：矩阵是线性变换的表示。

核心概念： 1. 矩阵 是一个函数，把向量 变换为$ABA$ 表示先应用 再应用$BA^{-1}$ 撤销变换 的效果

为什么这个视角重要： - 它解释了矩阵乘法规则的来源 - 它让我们能够"看到"矩阵做了什么 - 它是计算机图形学、物理学、机器学习等领域的基础

下一章预告：《行列式的秘密》——我们将看到行列式如何测量变换对面积/体积的影响，以及它为什么能判断矩阵是否可逆。

本文是《线性代数的本质与应用》系列的第 3 章。