伪逆（Pseudo-Inverse），也称为广义逆（Generalized Inverse），是线性代数中的一个重要工具，尤其是在处理不可逆或非方阵时。与标准的逆矩阵不同，伪逆可以扩展矩阵求逆的概念，适用于更广泛的矩阵类型。这在机器学习、优化以及控制理论等多个领域中都有广泛应用。本文将详细探讨伪逆的定义、推导过程及其应用，并提供数学证明。

什么是伪逆？

对于给定的矩阵，伪逆（记作）提供了一种解决线性方程组的方式，即使这些方程组没有唯一解或精确解。特别地，当不可逆或不是方阵时，我们可以通过定义来最小化误差的平方和。

伪逆通过以下优化问题定义：

其中： - 是我们希望计算伪逆的矩阵。 - 是目标矩阵。 - 表示 Frobenius 范数，定义为：

简单来说，伪逆通过最小化矩阵乘积与目标矩阵的误差来近似逆矩阵。

Frobenius 范数

在进一步讨论伪逆之前，我们首先要了解一下Frobenius范数，这是矩阵优化问题中广泛使用的工具。

对于矩阵，Frobenius 范数定义为：

它也可以通过矩阵的迹来表示：

其中表示迹运算，即矩阵对角线元素之和。

为什么将矩阵的每个元素平方然后求和等价于求的迹？

事实上，当我们计算的对角线元素时，这些元素是中每一行向量与自己相乘得到的平方和（即内积），所以最终结果相当于对每个元素的平方求和。通过这个公式我们可以看到 Frobenius 范数实际上是矩阵乘法结果中对角线元素之和的平方根，这与直接将矩阵元素平方求和再开平方的结果是一样的。

Frobenius 范数可以看作是欧几里得范数在矩阵上的推广，将矩阵的元素视为向量的元素来计算。

优化视角

从优化的角度来看，伪逆可以通过以下问题来定义：

这个问题的本质是寻找一个，使得与之间的 Frobenius 范数最小化。当是单位矩阵时，我们称为 右伪逆：

同样地，左伪逆也可以通过类似的方式定义。

求解伪逆

为了解决上述优化问题，我们对目标函数求导：

令其等于零，得到：

解得：

当为单位矩阵时，伪逆的解为：

一般形式

对于不满秩的矩阵不可逆的情况，可以通过正则化来稳定计算伪逆：

这被称为Tikhonov 正则化或岭回归。

为了证明是可逆的，我们可以从以下几个步骤来展开：

的不可逆性

矩阵是的协方差矩阵，如果的列向量线性相关，就会是奇异矩阵，不可逆。这是因为在线性相关的情况下，的某些特征值为 0，导致行列式为 0，进而不可逆。

引入正则化项

为了保证矩阵可逆，我们引入正则化项，其中，是单位矩阵。加入正则化项的目的是增加对角线上的元素，使得整个矩阵的特征值都大于零，从而使其可逆。

我们需要证明是可逆的。

可逆性证明（三种方法）

正定性

首先，我们知道矩阵是对称矩阵，因为和单位矩阵都是对称的。对称矩阵的可逆性可以通过其是否正定来判断。

考虑任意向量，我们计算：

其中且，由于，我们可以得到：

这表明是正定矩阵，因此它是可逆的。

特征值的变化

假设的特征值为，其中一些（即不满秩）。对于，其特征值变为：

$特征值$

由于，即使某些，加入后特征值也变成了，因此所有特征值都严格大于零。特征值严格大于零意味着矩阵是正定的，因此可逆。

行列式不为零

可逆矩阵的充要条件是行列式不为零。行列式可以通过特征值的乘积来计算：

由于，每个，因此行列式不为零，这也证明了是可逆的。

伪逆的性质

伪逆具有以下重要性质： 1. 对称性：，即伪逆的伪逆等于原矩阵。 2. 一致性：，这保证了伪逆与标准逆矩阵具有类似的行为。 3. 最小误差：伪逆最小化与之间的 Frobenius 范数。

奇异值分解（SVD）与伪逆

伪逆的一个强大计算方法是通过奇异值分解（SVD）。对于任意矩阵，其 SVD 分解为：

其中： - 和是正交矩阵。 - 是包含的奇异值的对角矩阵。

伪逆可以通过 SVD 计算为：

其中是的伪逆，通过将非零奇异值取倒数，零保持不变。

示例

考虑矩阵：

通过 SVD 分解为：

然后通过取的伪逆，计算出。

import numpy as np

# 定义矩阵 A
A = np.array([[1, 2],
              [3, 4],
              [5, 6]])

# 进行 SVD 分解
U, Sigma, VT = np.linalg.svd(A)

# 计算 Σ 的伪逆
Sigma_inv = np.zeros((A.shape[1], A.shape[0]))  # 创建一个与 A 的维度相匹配的矩阵
Sigma_inv[:len(Sigma), :len(Sigma)] = np.diag(1 / Sigma)  # 对非零的奇异值取倒数

# 计算伪逆 A^+
A_pseudo_inverse = VT.T @ Sigma_inv @ U.T

# 输出伪逆
A_pseudo_inverse

# array([[-1.33333333, -0.33333333,  0.66666667],
#       [ 1.08333333,  0.33333333, -0.41666667]])

伪逆的应用

线性系统求解

伪逆在求解无唯一解的线性方程组时尤为有效。对于线性方程组，如果不可逆，伪逆提供了最小二乘意义下的最佳近似解：

低秩近似

在机器学习中，伪逆常用于低秩矩阵近似，例如在主成分分析（PCA）中，通过伪逆找到最优投影，将高维数据压缩到低维。

控制理论

在控制系统中，伪逆用于设计控制器，即使系统可能不可完全控制或观测。伪逆通过最小二乘方法计算控制规律，从而减少误差。

数值稳定性与计算考虑

数值不稳定性的来源

在计算伪逆时，最常用的方法是通过奇异值分解 (SVD)。SVD 将矩阵分解为三个部分：正交矩阵，奇异值矩阵，以及正交矩阵。伪逆的计算依赖于对取倒数，这本质上是对矩阵的奇异值进行反转操作。

问题在于，当某些奇异值非常接近 0 时，取倒数的结果会变得非常大。这会导致数值计算中的不稳定性，因为计算机无法准确表示非常小或非常大的数。这种不稳定性在数值上表现为： - 计算误差被放大。 - 最终结果不准确甚至可能溢出。

举个例子，假设有一个矩阵，它的奇异值为。当我们尝试取伪逆时，的结果是：

这意味着与小奇异值对应的反转操作会导致非常大的数值。这些数值将导致在后续的矩阵乘法中产生巨大的计算误差。

Tikhonov 正则化：数值稳定性的方法

为了解决奇异值非常小时的数值不稳定问题，我们可以引入Tikhonov 正则化（也称为岭回归）。其核心思想是在计算过程中人为地增加一个小的正则化项，以避免奇异值过小的问题。

正则化方法通过修改原始问题来改善数值稳定性。通常的做法是修改伪逆计算公式，将伪逆表示为：

其中是一个非常小的正则化参数，是单位矩阵。引入的主要目的是避免直接使用非常小的奇异值，从而减小数值不稳定的影响。

数值稳定性的来源

通过添加，我们实际是增加了矩阵的对角线元素。这会使得矩阵的最小特征值变得不再为 0 或非常小，而是增加了一个。即使原矩阵是奇异矩阵，加上之后它也会变得可逆，从而可以安全地进行伪逆的计算。

正则化的影响

在计算伪逆时，正则化项的大小对结果有直接影响： - 如果过大，正则化效果会过强，导致伪逆的解偏离实际的解。 - 如果过小，则无法有效改善数值不稳定性。

因此，选择适当的是至关重要的。通常，通过交叉验证或经验选择合适的正则化参数。

示例：使用正则化计算伪逆

假设我们有矩阵，其奇异值中存在较小的值。我们可以通过添加正则化项来计算伪逆，以避免数值不稳定。

import numpy as np

# 定义矩阵 A
A = np.array([[1, 2],
              [3, 4],
              [5, 6]])

# 正则化参数 lambda
lambda_reg = 1e-5

# 计算 A^T A 和 正则化项
ATA_reg = A.T @ A + lambda_reg * np.eye(A.shape[1])

# 计算伪逆
A_pseudo_inverse_reg = np.linalg.inv(ATA_reg) @ A.T

# 输出伪逆
print(A_pseudo_inverse_reg)

# [[-1.33328236 -0.33331944  0.66664347]
# [ 1.08329309  0.33332236 -0.41664837]]

结论

伪逆是逆矩阵的推广，适用于更广泛的矩阵类型，包括非方阵或不可逆矩阵。它在优化、机器学习和控制理论中具有重要应用。通过奇异值分解，我们可以高效计算伪逆，并将其应用于实际问题。